Exercícios Resolvidos de Esforços Combinados e o Estado Plano de Tensões

Ver Teoria

Enunciado

A barra de aço circular abaixo, de diâmetro 20mm, foi sujeita ao carregamento mostrado na figura. Determine o estado plano de tensões que ocorrem no ponto A da nossa barra.

Passo 1

Para começar essa questão, devemos nos lembrar do nosso passo a passo. Devemos primeiro levar todos os esforços produzidos pelas cargas para a seção que se deseja calcular e analisar como esses esforços afetam o ponto A.

Analisando primeiro a carga de 90KN que está deslocada vemos que ela produz uma força cortante, um esforço torçor e também um esforço fletor como mostra a figura abaixo.

podemos ver também que a carga de 90 KN não deslocada produz na nossa seção uma componente cortante e também um momento fletor

Além disso podemos ver que a carga de 230 KN não deslocada produz na nossa seção apenas uma componente, que nesse caso é uma força normal, como podemos ver na nossa figura

Analisando a nossa seção com todos os esforços juntos teremos que

Nesse caso tanto o cortante quanto o momento fletor são iguais pois ambas as cargas são iguais e estão a mesma distância da nossa seção, logo não precisamos usar características diferentes já que ambos os valores são idênticos.

Passo 2

Agora que já descobrimos os esforços que aparecem, precisamos calcula-los. Já sabemos de antemão que a força normal produz esforços normais, assim como o momento fletor. Da mesma forma força cortante produz esforços cisalhantes assim como o torsor. Então vamos dividir essa segunda parte da solução em duas partes.

Primeiro vamos calcular os esforços normais devido a ação da força normal.

Sabemos que a fórmula que nos auxilia nesse cálculo é

σ N = N A

Sabemos que o normal será dado por

N = 23 0   K N

E a área será dada por

A = π . r 2

Se o diâmetro é 20mm o raio será metade disso, ou seja, 10mm, então temos que

r = 10 m m = 10   .   10 - 3 m = 10 - 2 m

A = π . ( 10 - 2 ) 2 = 3,14   .   10 - 4 m 2

Substituindo na fórmula principal teremos que

σ N = 230 3,14   .   10 - 4 = 732 . 484,1   K p a = 732,5   M p a

Olhando novamente a figura, vemos que nosso elemento é

O nosso elemento isolado com a tensão será

É importante perceber, que como calculamos o valor de tensão normal e ele deu positivo, significa que ele está tracionado o nosso elemento.

Passo 3

Vamos calcular os esforços normais devido a ação do momento fletor. Mas perceba o seguinte, como temos dois momentos fletores iguais, basta calcularmos apenas um dos momentos e multiplicar o valor por dois. Temos dois momentos fletores causados pela carga de 90 KN e ambas possuem o mesmo braço de alavanca, por isso ambos são iguais.

Sabemos que a fórmula que nos auxilia nesse cálculo é

σ N = - M . y I

Sabemos que y é a distância do centro da peça até o ponto calculado, como esse ponto está em cima, sabemos que seu sinal é positivo, e por estar na extremidade, vale o próprio valor raio.

y = 10   m m = 10 - 2 m

Também temos que calcular o valor do momento

Sabemos pela figura que o nosso momento fletor é o braço de alavanca da carga de 90KN e o próprio valor do braço de alavanca, além é claro de ser negativo por ser contrario aos eixos adotados

M = - 9 0   .   0,35 = - 31,5   K N . m

Como são dois momentos teremos que

M f i n a l = - 63   K N   .   m

Por fim, basta determinar o valor do momento de inercia de uma barra circular, que é dada por

I = π . r 4 4

Substituindo os valores do enunciado teremos que

I = π . ( 10 - 2 ) 4 4 = 7,85   .   10 - 9 m 4

Substituindo na nossa equação teremos que

σ N = - - 63 . 10 - 2 7,85   .   10 - 9 = 80254777,1 K P a = 80 . 254,1   M p a

Olhando novamente a figura, vemos que nosso elemento é

É importante perceber, que como calculamos o valor de tensão normal e ele deu positivo, significa que ele está tracionado o nosso elemento. Você também pode perceber isso fazendo a regra da mão direita no ponto A e vendo que ele é tracionado quando fazemos isso.

Passo 4

Agora vamos fazer a análise por esforços cisalhantes.

Vamos primeiro analisar o cisalhante. Sabemos que a fórmula que nos auxilia no cálculo é a f��rmula

τ V = V . S B . I

Mas vamos olhar a nossa figura. Lembre-se que os nossos cortantes são iguais, assim teremos que

Queremos o cisalhante em A, então basta você pensar no seguinte, uma das coisas pedidas nessa conta é o momento estática(S), que é a área acima do ponto que calculamos o cisalhante.

Agora pensa comigo, qual a área acima do ponto A?

Isso mesmo, não tem, logo

S = 0

Se o momento estático em A é zero, podemos deduzir que

τ V = 0

Outra forma de calcular seria lembrando do nosso diagrama, que para esforço cortante é zero nas extremidades e máximo na linha neutra. Como aqui o ponto A está na extremidade, ele vale zero, para exemplificar podemos ver isso no diagrama abaixo.

Passo 5

Por fim basta analisarmos os esforços para a ação do Torso.

Sabemos que a fórmula que nos dá isso é

τ T = T . ρ J

Vamos ir deduzido cada valor da nossa fórmula.

Sabemos que o ρ se trata do ponto que estamos calculando, como esse ponto está na extremidade, o valor será o próprio raio da seção

ρ = 10 m m = 10 . 10 - 3 m = 10 - 2 m

Também temos que determinar o nosso momento torsor

Pela figura temos que

teremos que

T = 0,90   K N . m

Por fim falta o cálculo do J que é dado pela equação

J = π . r 4 2

Substituindo teremos que

J = π . ( 10 - 2 ) 4 2 = 1,571   .     10 - 8 m 4

Agora que já temos todos os valores

Vamos substituir na nossa equação principal

�� T = T . ρ J

τ T = 0,90   . 10 - 2 1,571   .     10 - 8 = 572.883,5   K P a = 572,9   M p a

Mas como representamos isso no nosso elemento?

Basta apenas analisar o diagrama formado nessa figura

Logo a representação no nosso elemento será

Passo 6

Por fim basta fazermos o elemento final com todos os esforços que representamos anteriormente, tendo dessa maneira o seguinte elemento para representarmos.

σ x = 80 . 986,6   M p a = 81   G p a

σ y = 0

τ x y = - 572,9   M p a = - 0,572   G p a

Resposta

σ x = 80.986,6   M p a = 81   G p a

σ y = 0

τ x y = - 572,9   M p a = - 0,572   G p a

Exercícios de Livros Relacionados

A haste maciça está sujeita à carga mostrada na figura. Determine o estado de tensão desenvolvido no material no ponto C e mostre os resultados em um elemento de volume diferencial nesse ponto.
A tampa do tanque cilíndrico é parafusada ao tanque ao longo das abas. O tanque tem diâmetro interno de 1,5 m e espessura da parede de 18 mm. Considerando que a maior tensão normal não deve ultrapassa
Desprezando o efeito dos adoçamentos e das concentrações de tensões, determine os menores diâmetros permissíveis para as hastes sólidas BC e CD. Utilize T a d m = 60 M P a .
Três placas de aço, cada uma com 13mm de espessura, são soldadas para formar uma viga em balanço. Para o carregamento mostrada, determine as tensões normal e de cisalhamento nos pontos a e b
P 1 e P 2 são aplicadas, como mostrado na figura, em direções perpendiculares ao eixo longitudinal de uma viga W310x60. Sabendo que P 1 = 25 k N e P 2 = 24 k N , determine as tenções principais e a te