Exercícios Resolvidos de Esforços Combinados e o Estado Plano de Tensões

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Enunciado

Dada a barra abaixo, determine o estado plano de tensões no ponto A que represente todos os esforços solicitantes nesse trecho.

Passo 1

Nesse tipo de questão, é sempre bom tomar extremo cuidado com as contas feitas. É muito importante fazer cada parte tomando extremo cuidado. Primeiro devemos levar todos os esforços do extremo da barra para o ponto que desejamos calcular, o desenho abaixo representa como vamos fazer isso.

Primeiro olhamos a seção que temos que levar os esforços

Em seguida analisamos quais solicitações os nossos esforços produziram

Sabemos que a nossa carga produz torção

Produz cisalhante

Produz flexão

Levando todos esses esforços para nossa seção, teremos que

Mas da pra perceber que é difícil analisar os esforços em 3 dimensões, então pra facilitar podemos usar a regra da mão direita, em que os 4 dedos rodam na mesma direção dos momentos, e o polegar aponta na direção do vetor que usaremos pra representar, então nossa seção ficará

Passo 2

Agora que já descobrimos os esforços que aparecem, precisamos calcula-los. Já sabemos de antemão que o momento fletor produz esforços normais, e que o torsor e cisalhante produzem esforços de cisalhamento. Então vamos dividir essa segunda parte da solução em duas parte.

Primeiro vamos calcular os esforços normais devido a ação do momento fletor.

Sabemos que a fórmula que nos auxilia nesse calculo é

σ N = - M . y I

Sabemos que y é a distancia da linha Neutra da peça até o ponto calculado, como esse ponto está em cima, sabemos que seu sinal é negativo, e por estar na extremidade, vale o próprio valor do raio.

y = - 10 m m = - 10.10 - 3 m = - 10 - 2 m

Também temos que calcular o valor do momento

Sabemos pela figura que o braço de alavanca é de 6m com uma carga de 20KN

M = 6.20 = 120 K N . m

Por fim, basta determinar o valor do momento de inercia de uma barra circular, que é dada por

I = π . r 4 4

Substituindo os valores do enunciado teremos que

I = π . ( 10 - 2 ) 4 4 = 7,85.10 - 9 m 4

Substituindo na nossa equação teremos que

σ N = - 120 . ( - 10 - 2 ) 7,85.10 - 9 = 152,9 G P a

Olhando novamente a figura, vemos que nosso elemento é

É importante perceber, que como calculamos o valor de tensão normal e ele deu positivo, significa que ele está tracionado o nosso elemento. Você também pode perceber isso fazendo a regra da mão direita no ponto A e vendo que ele é tracionado quando fazemos isso.

Passo 3

Agora vamos fazer a análise por esforços cisalhantes.

Vamos primeiro analisar o cisalhante. Sabemos que a fórmula que nos auxilia no cálculo é a fórmula

τ V = V . S B . I

Mas vamos olhar a nossa figura

Queremos o cisalhante em A, então basta você pensar no seguinte, uma das coisas pedidas nessa conta é o momento estática(S), que é a área acima do ponto que calculamos o cisalhante.

Agora pensa comigo, qual a área acima do ponto A?

Isso mesmo, não tem, logo

S = 0

Se o momento estático em A é zero, podemos deduzir que

τ V = 0

Outra forma de calcular seria lembrando do nosso diagrama, que para esforço cortante é zero nas extremidades e máximo na linha neutra. Como aqui o ponto A está na extremidade, ele vale zero, para exemplificar podemos ver isso no diagrama abaixo.

Passo 4

Por fim basta analisarmos os esforços para a ação do Torso.

Sabemos que a fórmula que nos dá isso é

τ T = T . ρ J

Vamos ir deduzido cada valor da nossa fórmula.

Sabemos que o ρ se trata do ponto que estamos calculando, como esse ponto esta na extremidade, o valor será o próprio raio da seção

ρ = 10.10 - 3 m = 10 - 2 m

Também temos que determinar o nosso momento torsor

Pela figura temos que

Como a nossa carga age na extremidade, basta multiplicarmos o valor da carga com a distancia dela até o centro, logo teremos que

T = 20.10 - 2 = 0,2 K N . m

Por fim falta o cálculo do J que é dado pela equação

J = π . r 4 2

Substituindo teremos que

J = π . ( 10 - 2 ) 4 2 = 1,57.10 - 8 m 4

Agora que já temos todos os valores

Vamos substituir na nossa equação principal

τ T = T . ρ J

τ T = 0,2 . 10 3 10 - 2 1,57.10 - 8 = 127,4   M P a

Mas como representamos isso no nosso elemento?

Basta apenas analisar o diagrama formado nessa figura

Logo a representação no nosso elemento será

Passo 5

Por fim basta fazermos o elemento final com todos os esforços que representamos anteriormente, tendo dessa maneira o seguinte elemento para representarmos.

σ x = 152,9 G P a

σ y = 0

τ x y = - 127,4 M P a

Resposta

σ x = 152,9 G P a

σ y = 0

τ x y = - 127,4 M P a

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