Exercícios Resolvidos de Esforços Combinados e o Estado Plano de Tensões

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Enunciado

A barra de aço retangular abaixo, de base 30mm e altura 70mm, foi sujeita ao carregamento mostrado na figura. Determine o estado plano de tensões que ocorrem no ponto B da nossa barra.

Passo 1

Para começar essa questão, devemos nos lembrar do nosso passo a passo. Devemos primeiro levar todos os esforços produzidos pelas cargas para a seção que se deseja calcular e analisar como esses esforços afetam o ponto B.

Analisando primeiro a carga de 240KN que vemos que ela produz uma força cortante, também um esforço fletor como mostra a figura abaixo.

podemos ver também que a carga de 300 KN produz uma componente cortante e também um momento fletor

Além disso podemos ver que a carga de 180 KN produz na nossa seção apenas uma componente, que nesse caso é uma força normal, como podemos ver na nossa figura

Analisando a nossa seção com todos os esforços juntos teremos que

Nesse caso tanto o cortante quanto o momento fletor são diferentes, logo, precisamos usar características diferentes já que ambos os valores são diferentes.

Passo 2

Agora que já descobrimos os esforços que aparecem, precisamos calcula-los. Já sabemos de antemão que a força normal produz esforços normais, assim como o momento fletor. Da mesma forma força cortante produz esforços cisalhantes assim como o torsor. Então vamos dividir essa segunda parte da solução em duas partes.

Primeiro vamos calcular os esforços normais devido a ação da força normal.

Sabemos que a fórmula que nos auxilia nesse cálculo é

σ N = N A

Sabemos que o normal será dado por

N = 180   K N

E a área será dada por

A = 30   .   70 = 2100   m m 2 = 2,1   .   10 - 3 m 2

Substituindo na fórmula principal teremos que

σ N = 18 0 2,1   .   10 - 3 = 85714,3   K p a = 85,7   M p a

Olhando novamente a figura, vemos que nosso elemento é

O nosso elemento isolado com a tensão será

É importante perceber, que como calculamos o valor de tensão normal e ele deu positivo, significa que ele está tracionado o nosso elemento.

Passo 3

Vamos calcular os esforços normais devido a ação do momento fletor. Mas perceba o seguinte, devemos primeiro calcular o momento devido a carga de 240 KN e depois a causada pela carga de 300 KN, e fazer o cálculo para a carga resultante. Com isso teremos que, primeiro

Como esse momento fletor é causado pela carga de 240 KN, devemos fazer o valor da carga vezes o braço de alavanca, com isso teremos que

M f l = - 240   .   0,80 + 0,80 = - 384   K N   .   m

Também sabemos que há um momento fletor na outra direção, que na nossa figura é dada por

Como esse momento fletor é causado pela carga de 300 KN, devemos fazer o valor da carga vezes o braço de alavanca, com isso teremos que

M f l 2 = 30 0   .   0,80 = + 240   K N   .   m

Logo o nosso momento fletor resultante será

M = 240 - 384 = - 144   K N   .   m

Sabemos que a fórmula que nos auxilia nesse cálculo é

σ N = - M . y I

Sabemos que y é a distância do centro da peça até o ponto calculado, como esse ponto está em cima da linha neutra, sabemos que seu valor é zero, logo

y = 0

Se substituirmos isso na nossa equação teremos que

σ N = - M . 0 I = 0

Ou seja, os esforços fletores não interferiram no nosso cálculo. Mas isso não significa que os esforços normais são zero, além do mais temos a carga de 180 KN que traciona a nossa seção, apenas podemos afirmar que para o ponto B a contribuição do momento fletor é zero.

Passo 4

Agora vamos fazer a análise por esforços cisalhantes.

Vamos primeiro analisar o cisalhante. Sabemos que a fórmula que nos auxilia no cálculo é a fórmula

τ V = V . S B . I

Mas vamos olhar a nossa figura. Lembre-se que os nossos cortantes são diferentes, assim teremos que para o primeiro cortante teremos que

E para o segundo teremos que

Logo o nosso cortante resultante será

Logo o cortante que usaremos será

V = 60   K N

Também precisamos do momento estático da nossa seção, que é calculado por

S = A   .   d

Olhando a nossa seção teremos que

logo teremos que

S = 35   .   30   .   17,5 = 18375   m m 3 = 1,8375   .   10 - 5 m 3

Se olharmos a nossa fórmula vemos que também precisamos do valor do b, que é a espessura da nossa seção, e também já sabemos esse valor

b = 30   m m = 30   .   10 - 3 m

E por fim precisamos do momento de inercia, como a seção é retangular usamos a fórmula

I = B . H 3 12

Como já temos as dimensões da seção, basta substituirmos esses valores

I = 30   .   10 - 3   .   ( 70   .   10 - 3 ) 3 12 = 8,575   .   10 - 7 m 4

Agora que já temos os valores, basta substituirmos na nossa equação

τ V = V . S B . I

V = 60   K N

I = 8,575   .   10 - 7 m 4

b = 30   .   10 - 3 m

S = 1,8375   .   10 - 5 m 3

Substituindo na nossa equação teremos que

τ V = 60   .   1,8375   .   10 - 5 30   .   10 - 3   .   8,575   .   10 - 7 = 42.857,1   K p a = 42,90   M p a

Olhando a nossa peça teremos que

Com isso teremos que

Passo 5

Por fim basta fazermos o elemento final com todos os esforços que representamos anteriormente, tendo dessa maneira o seguinte elemento para representarmos.

σ x = 85,7   M p a

σ y = 0

τ x y = 42 , 9   M p a

Resposta

σ x = 85,7   M p a

σ y = 0

τ x y = 42,9   M p a

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