Exercícios Resolvidos de Esforços Combinados e o Estado Plano de Tensões

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Enunciado

O parafuso está preso a seu suporte em C . Se a força de 90   N for aplicada à chave para apertá-lo, determine as tensões normais e de cisalhamento no ponto A . Além disso, represente os resultados sobre um elemento localizado nesse ponto. A haste tem diâmetro de 6   m m .

Passo 1

O que está acontecendo?

A força de 90   N aplicada na chave vai gerar uma série de esforços internos na seção de diâmetro d = 6   m m onde se encontram os pontos A e B .

Esses esforços internos, por sua vez, vão gerar tensões normais σ e tensões cisalhantes τ nesses pontos.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine essas tensões σ e τ resultantes no ponto A .

Em seguida, ele ainda quer que a gente represente esses resultados desenhando o estado plano de tensões para esse ponto, como ilustrado na imagem abaixo:

Então, para resolver esse exercício...

Devemos começar fazendo uma seção na peça no local onde está esse ponto A .

Dessa forma, poderemos analisar e determinar os esforços internos que atuam nesse seção.

Com isso, vamos poder identificar as tensões σ e τ causadas por cada um desses esforços internos.

E, assim, vamos conseguir fazer os desenhos do estado plano de tensões para o ponto A .

Passo 2

Então vamos começar fazendo uma análise dos esforços internos na seção onde se encontra o ponto A .

Para tanto, podemos representar as peças de uma forma simplificada e fazer uma seção na região desse ponto:

Feito isso, devemos identificar quais vão ser os esforços internos que vão surgir nessa seção.

Então lembra aí!

Os possíveis esforços internos são:

  • Força normal N ;
  • Força cortante V ;
  • Momento fletor M (ou M F l );
  • E torque interno T (ou momento torsor M T ).

Desenhando esses esforços internos na nossa seção, o desenho acima fica assim:

Lembrando que dependendo da convenção dos seus professores, o torque interno T pode ser desenhado também entrando para dentro das peças.

Passo 3

Agora, precisamos calcular os valores desses esforços internos N , V , M e T .

Para tanto, podemos aplicar condições de equilíbrio para toda a parte direita das peças:

Primeiro, aplicando o equilíbrio de forças na horizontal, temos:

∑ F H = 0

A única força na horizontal é a força normal N , então temos que:

N = 0

Ou seja, não há força normal N nesse seção.

Em seguida, aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos:

∑ F V = 0

Na vertical, temos a cortante V para cima e a força de 90   N para baixo.

Dessa forma, esse somatório acima fica assim:

V - 90   N = 0

O que significa que:

V = 90   N

Já para determinar o valor do momento fletor M , precisamos aplicar o equilíbrio de momentos em relação ao ponto A :

∑ M A = 0

Em relação a esse ponto, nós vamos ter um momento no sentido horário ( - ) causado pela força de 90   N com um braço de 50   m m e o momento M também no sentido horário ( - ).

Dessa forma, esse somatório de momentos acima fica assim:

- 90   N 50   m m - M = 0

O que significa que:

M = - 90 * 50   N * m m

O que dá:

M = - 4500   N * m m

Por fim, para determinar o valor do torque interno T , precisamos fazer um equilíbrio de torques:

∑ T = 0

Em relação ao eixo principal do parafuso, nós vamos ter um torque no sentido horário ( - ) causado pela força de 90   N com um braço de 150   m m , além do próprio torque interno T , também no sentido horário ( - ).

Então o nosso somatório de torques fica assim:

- 90   N 150   m m - T = 0

O que significa que:

T = - 90 * 150   N * m m = - 13500   N * m m

Passo 4

Agora que conhecemos os esforços internos na seção do ponto A :

V = 90   N

M = - 4 5 00   N * m m

&

T = - 13 5 00   N * m m

...podemos calcular as tensões causadas por esses esforços internos.

Nesse passo, vamos começar analisando a tensão de cisalhamento τ causada pela força cortante V .

Lembra aí!

Ela é dada pela fórmula do cisalhamento:

τ = V Q I t

Onde:

  • Q é o momento estático para a fibra em que se quer calcular a tensão τ ;
  • I é o momento de inércia da área da seção transversal;
  • & t é a espessura da fibra em que se quer calcular a tensão τ .

Aí, se a gente olhar para o nosso ponto A , vamos perceber uma coisa:

Que é: esse nosso ponto A está no topo da seção!

E lá quando estudamos a fórmula do cisalhamento, vimos que o momento estático Q das fibras no topo e na base de uma seção é nulo.

Consequentemente, a tensão de cisalhamento τ = V Q / I t devido à força cortante V nos pontos dessas fibras é nula.

Ou seja:

A força cortante V não vai causar nenhuma tensão no nosso ponto A .

Passo 5

Em seguida, vamos ver como é a tensão causada pelo momento fletor M = - 4,5   N * m no nosso ponto A .

Lá quando estudamos flexão, vimos que a tensão normal causada por um momento fletor M é dada pela fórmula da flexão:

σ = - M y I

Onde:

  • y é a posição do ponto em que se quer saber a tensão σ em relação à linha neutra;
  • & I é o momento de inércia da área da seção transversal.

No caso da nossa seção circular, temos que a linha neutra passa bem no meio dela:

Aí, da imagem acima, vemos como a posição y do nosso ponto A é:

y A = d / 2

Além disso, para uma seção circular, o momento de inércia da área I é dado pela fórmula:

I = π r 4 4

Onde r é o raio da seção e é igual à metade do diâmetro dela ( r = d / 2 ), de tal forma que:

I = π d / 2 4 4 = π d 4 / 16 4 = π d 4 64

Sabendo de tudo isso, já podemos aplicar a fórmula da flexão para o nosso ponto A :

σ A = - M y A I

Aí, substituindo:

  • y A = d / 2 ;
  • & I = π d 4 / 64 ,

Temos que:

σ A = - M d 2 π d 4 64

Simplificando, isso dá:

σ A = - 32 M π d 3

Finalmente, substituindo os valores:

  • M = - 45 00   N * m m ;
  • & d = 6   m m ,

Encontramos que:

σ A = - 32 - 4500   N * m m π 6   m m 3

Calculando tudo isso, vamos ter um resultado em N / m m 2 que vai dar:

σ A = 212,2   N / m m 2

Mas N / m m 2 é o mesmo que M P a , o que significa que:

σ A = 212,2   M P a

E o que é que esse resultado significa?

Ele significa que o nosso ponto A está sendo tracionado lateralmente por uma tensão normal de 212,2   M P a :

Passo 6

Por fim, podemos ver como será a tensão causada pelo torque interno T .

Pelo que vimos lá em torção, sabemos que esse torque interno vai gerar na seção tensões de cisalhamento τ de acordo com a fórmula da torção:

τ = T ρ J

Onde:

  • ρ é a distância do centro da seção até o ponto em que se quer saber a tensão τ ;
  • & J é o momento de inércia polar da seção e é dado pela fórmula:

J = π 2 c 4

...para uma seção circular de raio c .

No nosso caso, vamos usar c = d / 2 , uma vez que o raio é a metade do diâmetro, de tal forma que:

J = π 2 d 2 4 = π 2 d 4 16 = π d 4 32

Aí, para o nosso ponto A , a distância ρ A dele ao centro é igual ao raio c = d / 2 da seção:

Assim, já podemos aplicar a fórmula da torção para o nosso ponto A :

τ A = T ρ A J

Substituindo:

  • ρ A = d / 2 ;
  • & J = π d 4 / 32 ,

Temos:

τ A = T d 2 π d 4 32

Simplificando, temos:

τ A = 16 T π d 3

Finalmente, substituindo os valores:

  • T = - 13500   N * m m ;
  • & d = 6   m m ,

Encontramos que:

τ A = 16 - 13500   N * m m π 6   m m 3

Calculando tudo, e vendo que o resultando dessa equação vai sair em N / m m 2 , que é o mesmo que M P a , obtemos que:

τ A = - 318,3   M P a

Passo 7

Estamos quase terminando o exercício, mas ainda temos um último desafio que é saber em que sentido atua essa tensão de cisalhamento τ A = - 318,3   M P a que acabamos de encontrar.

Isso porque:

  • Enquanto que a fórmula da flexão é “inteligente” (ela consegue através do seu sinal de positivo ou negativo indicar se é uma tensão de tração ou compressão),
  • A fórmula da torção não é “inteligente”.

Então nós temos que olhar pros desenhos que fizemos para entender qual é o sentido da tensão τ A .

Podemos, por exemplo, olhar pro lado esquerdo do desenho que fizemos lá no começo do exercício:

Nesse desenho, a seta dupla corresponde ao torque.

Visualizando esse torque na nossa peça com o auxílio da regra da mão direita, ele fica assim:

O que significa que caso ele fosse positivo, ele geraria uma tensão que apontaria para baixo no lado direito do ponto A :

Mas na realidade, o torque interno T e a tensão τ A = - 318,3   M P a que encontramos tem valores negativos.

Isso significa que a tensão cisalhante de intensidade 318,3   M P a no nosso ponto A vai na realidade estar apontando para cima no lado direito do ponto A :

Por fim, para equilibrar esse elemento A , devemos adicionar três outras tensões de cisalhamento com a mesma intensidade nos demais lados do elemento:

E pronto!

Esse desenho acima é o nosso estado plano de tensões para o ponto A e completa nossa resposta para o exercício.

Além disso, na hora de destacar os valores das tensões no ponto para a resposta do exercício, podemos fornecer os valores de acordo com o caso geral do estado plano de tensões:

Comparando essa imagem com o nosso desenho acima, vemos que para o ponto A :

Resposta

σ x = 212,2   M P a

σ y = 0

&

τ x y = 318,3   M P a

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