onde k é chamada de constante assintótica de proporcionalidade, e_{n}=\left|x_{n}-x^{*}\right| e e_{n+1}=\left|x_{n+1}-x^{*}\right| são os erros cometidos nas iterações n e n+1, respectivamente, e x^{*} é a raiz exata da função.
Mostre que o método de Newton-Raphson apresenta convergência quadrática, desde que f^{\prime}\left(x^{*}\right) \neq 0 , onde f^{\prime}\left(x^{*}\right) é a derivada da função no ponto x^{*}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o método de Newton-Raphson tem convergência quadrática, ou seja, que
\lim_{n\to\infty}\frac{e_{n+1}}{e_n^2}=k
com k finito, onde e_n=\left|x_n-x^*\right| e x^* é a raiz exata de f. As informações relevantes são:
A definição do erro e_n=\left|x_n-x^*\right|.
A condição necessária que devemos usar: f'(x^*)\neq 0.
A iteração de Newton-Raphson (que vamos usar):
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Não se resolve nada neste passo; só organizamos o que foi dado e o que se quer demonstrar.
Passo 2
Vamos aproximar f(x_n) e f'(x_n) por séries de Taylor centradas em x^*. Para isso defino s=x_n-x^*, então s\to 0 quando n\to\infty e e_n=|s|. Como f(x^*)=0 (porque x^* é raiz), a expansão de Taylor de f em torno de x^* até termos de ordem s^2 é:
Aqui explico rápido os símbolos: O(s^3) significa “termos cujo módulo é menor ou igual a C|s|^3 para algum constante C quando s é pequeno” — ou seja, são termos de ordem no mínimo s^3.
Passo 3
Para simplificar a escrita, chamo
A=f'(x^*)\quad\text{e}\quad C=f''(x^*).
Assim as expansões ficam
f(x_n)=A s+\frac{C}{2}s^2+O(s^3),
f'(x_n)=A + C s + O(s^2).
Como A=f'(x^*)\neq 0 pela hipótese, podemos dividir por A. Escrevo a fração que aparece em Newton:
\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=\frac{A s+\frac{C}{2}s^2+O(s^3)}{A+ C s + O(s^2)}.
Agora usamos a expansão \dfrac{1+u_1}{1+u_2}=(1+u_1)(1-u_2+O(u_2^2))=1+(u_1-u_2)+O(u_2^2,u_1u_2) válida para pequenos u_1,u_2. Tomando u_1=\dfrac{C}{2A}s+O(s^2) e u_2=\dfrac{C}{A}s+O(s^2) obtemos, até ordem s^2,
Portanto a convergência é quadrática (expoente 2) e a constante assintótica de proporcionalidade é k=\left|\dfrac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}\right|. Note que a hipótese f'(x^*)\neq 0 foi essencial para podermos dividir por A e garantir que o método seja bem definido localmente; se f''(x^*)=0 a constante k pode ser zero e a ordem de convergência pode ser maior que 2.
Passo 6
Um exemplo rápido para fixar: tome f(x)=x^2-2. A raiz positiva é x^*=\sqrt{2}. Temos f'(x)=2x, f''(x)=2. Então