03 Seja
uma progressão aritmética com termos não nulos. Prove, por indução em
, que:
para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma progressão aritmética (PA) de razão
e termos não nulos, ou seja
e pede para provar por indução em
que, para todo
,
Vamos então estruturar a prova pelo método de indução.
Passo 2
(Base da indução) Para
o lado esquerdo é
e o lado direito é
Logo a igualdade vale para
.
Passo 3
(Passo indutivo – hipótese) Suponha que a fórmula seja verdadeira para um certo
, isto é,
Passo 4
(Indução de
para
) Considere a soma até
:
Pelo passo indutivo isso é
Passo 5
(Usando a PA para fechar a conta) Como
é PA de razão
, temos
Também
. Então
Substituindo de volta,
Isso mostra que, se vale para
, vale para
.
Resposta
Por indução, para todo