03 Seja \left(a_{n}\right) uma progressão aritmética com termos não nulos. Prove, por indução em n, que:
\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}=\frac{n}{a_{1} a_{n+1}}
para todo n \geqslant 1.

Passo 1

O enunciado diz que \bigl(a_n\bigr) é uma progressão aritmética (PA) de razão d e termos não nulos, ou seja
a_{n+1}=a_n+d, \quad a_{n+2}=a_n+2d,
e pede para provar por indução em n que, para todo n\ge1,
\frac{1}{a_{1}a_{2}}+\frac{1}{a_{2}a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}a_{n+1}} =\frac{n}{a_{1}a_{n+1}}.
Vamos então estruturar a prova pelo método de indução.

Passo 2

(Base da indução) Para n=1 o lado esquerdo é
\frac{1}{a_{1}a_{2}},
e o lado direito é
\frac{1}{a_{1}a_{1+1}} =\frac{1}{a_{1}a_{2}}.
Logo a igualdade vale para n=1.

Passo 3

(Passo indutivo – hipótese) Suponha que a fórmula seja verdadeira para um certo n\ge1, isto é,
\frac{1}{a_{1}a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}a_{n+1}} =\frac{n}{a_{1}a_{n+1}}.

Passo 4

(Indução de n para n+1) Considere a soma até n+1:
\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{a_k\,a_{k+1}} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_k\,a_{k+1}} +\frac{1}{a_{n+1}\,a_{n+2}}.
Pelo passo indutivo isso é
\frac{n}{a_{1}a_{n+1}} +\frac{1}{a_{n+1}a_{n+2}} =\frac{n\,a_{n+2}+a_{1}}{a_{1}\,a_{n+1}\,a_{n+2}}.

Passo 5

(Usando a PA para fechar a conta) Como \bigl(a_n\bigr) é PA de razão d, temos
a_{n+1}=a_{1}+n\,d.
Também a_{n+2}=a_{n+1}+d. Então
n\,a_{n+2}+a_{1} =n\,(a_{n+1}+d)+a_{1} =n\,a_{n+1}+\bigl(n\,d+a_{1}\bigr) =n\,a_{n+1}+a_{n+1} =(n+1)\,a_{n+1}.
Substituindo de volta,
\frac{n\,a_{n+2}+a_{1}}{a_{1}\,a_{n+1}\,a_{n+2}} =\frac{(n+1)\,a_{n+1}}{a_{1}\,a_{n+1}\,a_{n+2}} =\frac{n+1}{a_{1}\,a_{n+2}}.
Isso mostra que, se vale para n, vale para n+1.

Resposta

Por indução, para todo n\ge1
\frac{1}{a_{1}a_{2}}+\frac{1}{a_{2}a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}a_{n+1}} =\frac{n}{a_{1}a_{n+1}}.

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