Seja
um número real. Prove por indução que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução sobre
, que para todo
com
vale
O conteúdo usado será o princípio da indução matemática, que envolve o passo-base e o passo de indução.
Passo 2
Verificamos o caso-base
. O lado esquerdo é
e o lado direito é
Logo, a fórmula é verdadeira para
.
Passo 3
Formulamos a hipótese de indução: suponha que para algum
já seja válida a igualdade
Passo 4
No passo indutivo, consideramos a soma até
:
Pela hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Passo 5
Colocamos tudo sobre o mesmo denominador
:
Isso mostra que a fórmula vale também para
.
Passo 6
Como o caso-base e o passo indutivo estão estabelecidos, pelo princípio da indução matemática a igualdade
é verdadeira para todo
e todo
.
Resposta
A fórmula da soma da progressão geométrica foi provada: