Seja x \neq 1 um número real. Prove por indução que
1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução sobre n\in\mathbb{N}, que para todo x\in\mathbb{R} com x\neq1 vale
1 + x + x^2 + \cdots + x^n \;=\;\frac{x^{n+1}-1}{x-1}.
O conteúdo usado será o princípio da indução matemática, que envolve o passo-base e o passo de indução.

Passo 2

Verificamos o caso-base n=0. O lado esquerdo é
1 + x + \cdots + x^0 = 1,
e o lado direito é
\frac{x^{0+1}-1}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} = 1.
Logo, a fórmula é verdadeira para n=0.

Passo 3

Formulamos a hipótese de indução: suponha que para algum n\ge0 já seja válida a igualdade
1 + x + x^2 + \cdots + x^n = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}.

Passo 4

No passo indutivo, consideramos a soma até n+1:
1 + x + x^2 + \cdots + x^n + x^{n+1} =\Bigl(1 + x + \cdots + x^n\Bigr) + x^{n+1}.
Pela hipótese de indução, substituímos a soma até n:
\frac{x^{n+1}-1}{x-1} + x^{n+1}.

Passo 5

Colocamos tudo sobre o mesmo denominador x-1:
\frac{x^{n+1}-1}{x-1} + \frac{x^{n+1}(x-1)}{x-1} = \frac{\bigl(x^{n+1}-1\bigr) + \bigl(x^{n+2}-x^{n+1}\bigr)}{x-1} = \frac{x^{n+2}-1}{x-1}.
Isso mostra que a fórmula vale também para n+1.

Passo 6

Como o caso-base e o passo indutivo estão estabelecidos, pelo princípio da indução matemática a igualdade
1 + x + x^2 + \cdots + x^n = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N} e todo x\neq1.

Resposta

A fórmula da soma da progressão geométrica foi provada:
1 + x + x^2 + \cdots + x^n = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}.

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