Sejam a e b números reais distintos. Prove que
a^{n}+a^{n-1} b+\cdots+a b^{n-1}+b^{n}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b} .

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula da soma
a^{n}+a^{n-1}b+\cdots+a b^{n-1}+b^{n}
onde a e b são reais distintos e n é inteiro positivo.
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma soma de progressão geométrica “mista” e aplicar o truque de multiplicar por (a-b) para obter um cancelamento em cascata (série telescópica).

Passo 2

Definimos
S = a^{n}+a^{n-1}b+\cdots+a b^{n-1}+b^{n}.
Multiplicamos ambos os lados por (a-b):
(a-b)\,S = a\cdot S \;-\; b\cdot S.
Escrevendo cada termo, temos
a\cdot S = a^{n+1}+a^{n}b+\cdots+a^{2}b^{n-1}+a b^{n},
b\cdot S = a^{n}b + a^{n-1}b^{2} + \cdots + a b^{n}+ b^{n+1}.

Passo 3

Subtraindo as duas expressões nota-se que quase todos os termos se cancelam, restando apenas as “bordas” da soma:
(a-b)\,S = \bigl(a^{n+1}+a^{n}b+\cdots+a b^{n}\bigr) -\bigl(a^{n}b+\cdots+a b^{n}+b^{n+1}\bigr) = a^{n+1}-b^{n+1}.

Passo 4

Como a\neq b, basta dividir ambos os lados por (a-b) para isolar S:
S = \frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}.

Resposta

a^{n}+a^{n-1}b+\cdots+a b^{n-1}+b^{n} =\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}.

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