Sejam a e b números reais distintos. Prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar a fórmula da soma
onde
e
são reais distintos e
é inteiro positivo.
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma soma de progressão geométrica “mista” e aplicar o truque de multiplicar por para obter um cancelamento em cascata (série telescópica).
O conteúdo principal aqui é reconhecer uma soma de progressão geométrica “mista” e aplicar o truque de multiplicar por
Passo 2
Definimos
Multiplicamos ambos os lados por
:
Escrevendo cada termo, temos
Passo 3
Subtraindo as duas expressões nota-se que quase todos os termos se cancelam, restando apenas as “bordas” da soma:
Passo 4
Como
, basta dividir ambos os lados por
para isolar
: