04 Uma moeda viciada mostra cara com uma probabilidade 1 / 4. Quando lançada n vezes, a probabilidade de obter exatamente duas caras é a mesma probabilidade de exatamente três caras. Qual é o valor de n ?

Passo 1

O enunciado fala de uma moeda que dá cara com probabilidade p=1/4 e coroa com probabilidade 1-p=3/4. Lançamos essa moeda n vezes e queremos o valor de n tal que a probabilidade de sair exatamente duas caras seja igual à probabilidade de sair exatamente três caras. O conteúdo usado aqui é a distribuição binomial e a manipulação de combinações.

Passo 2

Seja X o número de caras em n lançamentos. Então
P(X=2)=\binom{n}{2}p^2(1-p)^{\,n-2},
P(X=3)=\binom{n}{3}p^3(1-p)^{\,n-3}.

Passo 3

Queremos
P(X=2)=P(X=3).
Substituindo as fórmulas binomiais e p=1/4, 1-p=3/4, temos
\binom{n}{2}\bigl(\tfrac14\bigr)^2\bigl(\tfrac34\bigr)^{n-2} =\binom{n}{3}\bigl(\tfrac14\bigr)^3\bigl(\tfrac34\bigr)^{n-3}.

Passo 4

Cancelamos o fator comum \bigl(\tfrac14\bigr)^2\bigl(\tfrac34\bigr)^{n-3} de ambos os lados e obtemos
\binom{n}{2}\,\frac34 =\binom{n}{3}\,\frac14 \quad\Longrightarrow\quad 3\binom{n}{2}=\binom{n}{3}.
Agora usamos
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}, \quad \binom{n}{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6},
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\frac{n(n-1)(n-2)}{6} =3\cdot\frac{n(n-1)}{2}.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 6 e dividindo por n(n-1) (que não é zero para n\ge2), vem
n-2=9 \quad\Longrightarrow\quad n=11.

Resposta

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