\bigcirc 3 Seja S=\{1,2, \ldots, n+1\}, onde n \geqslant 2 e seja
\mathrm{T}=\left\{(x, y, z) \in S^{3} \mid x<z \quad \text { e } \quad y<z .\right\}
Conte |\mathrm{T}| de dois modos diferentes para mostrar que
\sum_{k=1}^{n} k^{2}=|T|=\binom{n+1}{2}+2\binom{n+1}{3}

Passo 1

O enunciado considera o conjunto
S = \{1,2,\dots,n+1\},\quad n\ge2,
e define
T = \bigl\{(x,y,z)\in S^3 \mid x<z \text{ e } y<z\bigr\}.
Queremos contar |T| de duas maneiras diferentes: uma que leve ao somatório \sum_{k=1}^n k^2 e outra que leve a
\binom{n+1}{2} + 2\binom{n+1}{3}.

Passo 2

Contagem por valor de z. Para cada z\in S, as condições x<z e y<z significam que x e y podem ser quaisquer elementos de \{1,2,\dots,z-1\}. Há exatamente (z-1) opções para x e (z-1) opções para y, logo
\bigl|\{(x,y)\mid x<z,\;y<z\}\bigr| = (z-1)^2.
Somando sobre todos os z de 1 a n+1 obtemos
|T| = \sum_{z=1}^{n+1} (z-1)^2 = \sum_{k=0}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2.

Passo 3

Contagem por casos x=y e x\neq y. Para cada tripla em T fixamos z e separam-se duas situações:
  • x=y.
  • x\neq y.

Passo 4

Caso x=y. Para dado z, a condição x=y<z dá exatamente z-1 escolhas (uma para x=y). Assim
\sum_{z=1}^{n+1}(z-1) \;=\;\sum_{k=0}^{n}k \;=\;\binom{n+1}{2}.

Passo 5

Caso x\neq y. Para dado z, o número de pares ordenados distintos (x,y) com x<z, y<z e x\neq y é
(z-1)(z-2),
pois há z-1 escolhas para x e depois z-2 para y\ne x. Logo
\sum_{z=1}^{n+1}(z-1)(z-2) =\sum_{k=0}^{n}k(k-1) =2\binom{n+1}{3}.

Passo 6

Somando os dois casos obtemos
|T| = \binom{n+1}{2} \;+\; 2\binom{n+1}{3}.
Como também vimos em

Passo 7

\sum_{k=1}^n k^2 \;=\; \binom{n+1}{2}\;+\;2\binom{n+1}{3}.

Resposta

\sum_{k=1}^{n}k^{2} =\binom{n+1}{2}+2\binom{n+1}{3}.

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