T = \bigl\{(x,y,z)\in S^3 \mid x<z \text{ e } y<z\bigr\}.
Queremos contar |T| de duas maneiras diferentes: uma que leve ao somatório \sum_{k=1}^n k^2 e outra que leve a
\binom{n+1}{2} + 2\binom{n+1}{3}.
Passo 2
Contagem por valor de z. Para cada z\in S, as condições x<z e y<z significam que x e y podem ser quaisquer elementos de \{1,2,\dots,z-1\}. Há exatamente (z-1) opções para x e (z-1) opções para y, logo