- 5 Suponha que uma moeda viciada tem probabilidade
de resultar cara e probabilidade
de resultar coroa (
).
(a) Ao lançarmos esta moeda
vezes, qual a probabilidade de saírem exatamente k coroas?
(b) Sejam
. Utilize o item (a) para provar que
(a) Ao lançarmos esta moeda
(b) Sejam
Passo 1
O enunciado trata de um experimento de Bernoulli repetido
vezes com probabilidade de cara
e coroa
, onde
. No item (a) precisamos calcular a probabilidade exata de ocorrerem
coroas em
lançamentos. No item (b) vamos usar esse resultado para deduzir a fórmula do binômio de Newton.
Passo 2
Cada sequência de
lançamentos com exatamente
coroas e
caras tem probabilidade
pois os lançamentos são independentes. Como há
maneiras de escolher em quais
lançamentos sai coroa, a probabilidade pedida é
Passo 3
Sabemos que a soma das probabilidades de todas as possibilidades de
coroas vai a 1, ou seja
Passo 4
Para obter a expansão genérica de
, escolhemos
de modo que
. Substituindo em
e multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Resposta
(a)
(b)
(b)