• 5 Suponha que uma moeda viciada tem probabilidade p de resultar cara e probabilidade q de resultar coroa ( p+q=1 ).
    (a) Ao lançarmos esta moeda n vezes, qual a probabilidade de saírem exatamente k coroas?
    (b) Sejam a, b \geqslant 0. Utilize o item (a) para provar que
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} .

Passo 1

O enunciado trata de um experimento de Bernoulli repetido n vezes com probabilidade de cara p e coroa q, onde p+q=1. No item (a) precisamos calcular a probabilidade exata de ocorrerem k coroas em n lançamentos. No item (b) vamos usar esse resultado para deduzir a fórmula do binômio de Newton.

Passo 2

Cada sequência de n lançamentos com exatamente k coroas e n-k caras tem probabilidade
p^{\,n-k}\,q^{\,k},
pois os lançamentos são independentes. Como há \binom{n}{k} maneiras de escolher em quais k lançamentos sai coroa, a probabilidade pedida é
\Pr(\text{exatamente }k\text{ coroas}) = \binom{n}{k}\,p^{\,n-k}\,q^{\,k}.

Passo 3

Sabemos que a soma das probabilidades de todas as possibilidades de k coroas vai a 1, ou seja
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,p^{\,n-k}\,q^{\,k} = (p+q)^{n} =1^{n} =1.

Passo 4

Para obter a expansão genérica de (a+b)^{n}, escolhemos
p = \frac{a}{a+b}, \quad q = \frac{b}{a+b},
de modo que p+q=1. Substituindo em
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,p^{\,n-k}\,q^{\,k}=1
e multiplicando ambos os lados por (a+b)^{n}, obtemos
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k} = (a+b)^{n}.

Resposta

(a) \displaystyle \binom{n}{k}\,p^{\,n-k}\,q^{\,k}.
(b) \displaystyle (a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}.

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