08
(a) Determine o número de soluções inteiras não negativas da equação
.
(b) Determine o número de soluções inteiras não negativas da inequação $x+y+z \leqslant 98.
(a) Determine o número de soluções inteiras não negativas da equação
(b) Determine o número de soluções inteiras não negativas da inequação $x+y+z \leqslant 98.
Passo 1
O enunciado pede duas contagens de soluções inteiras não negativas usando o método de “estrelas e barras” (stars and bars). Em (a) queremos o número de soluções de
com
.
Em (b) queremos o número de soluções de
Em (b) queremos o número de soluções de
com
.
Passo 2
Para contar o número de soluções de
com
inteiros, usamos a fórmula das “estrelas e barras”:
Passo 3
No item (a) temos
variáveis
e
. Pelo princípio acima o número de soluções é
Calculando
Passo 4
No item (b) temos a desigualdade
Introduzimos uma variável folga
tal que
reduzindo ao mesmo tipo de contagem de (a), agora com
variáveis.
Passo 5
Aplicando de novo a fórmula de “estrelas e barras” com
e
, obtemos também
Resposta
(a)
(b)
(b)