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(a) Determine o número de soluções inteiras não negativas da equação x+y+z+t=98.
(b) Determine o número de soluções inteiras não negativas da inequação $x+y+z \leqslant 98.

Passo 1

O enunciado pede duas contagens de soluções inteiras não negativas usando o método de “estrelas e barras” (stars and bars). Em (a) queremos o número de soluções de
x + y + z + t = 98
com x,y,z,t \ge 0.
Em (b) queremos o número de soluções de
x + y + z \le 98
com x,y,z \ge 0.

Passo 2

Para contar o número de soluções de
x_1 + x_2 + \cdots + x_n = k
com x_i \ge 0 inteiros, usamos a fórmula das “estrelas e barras”:
\binom{k + n - 1}{n - 1}.

Passo 3

No item (a) temos n=4 variáveis (x,y,z,t) e k=98. Pelo princípio acima o número de soluções é
\binom{98 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{101}{3}.
Calculando
\binom{101}{3} = \frac{101 \times 100 \times 99}{3 \times 2 \times 1} = 166650.

Passo 4

No item (b) temos a desigualdade
x+y+z \le 98.
Introduzimos uma variável folga t \ge 0 tal que
x + y + z + t = 98,
reduzindo ao mesmo tipo de contagem de (a), agora com n=4 variáveis.

Passo 5

Aplicando de novo a fórmula de “estrelas e barras” com k=98 e n=4, obtemos também
\binom{98 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{101}{3} = 166650.

Resposta

(a) 166650
(b) 166650

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