[04] Utilizando o método de eliminação de Gauss, escreva algoritmos para calcular o determinante e a inversa de uma matriz (caso seja possível). Aplique os algoritmos obtidos na matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 1.4 & -1.3 & 0.6 \\\\ 0.8 & -0.9 & 1 \\\\ -1.1 & 0 & 0.1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de eliminação de Gauss em duas aplicações: uma para calcular o determinante de uma matriz quadrada e outra para encontrar sua inversa (caso ela exista). O conteúdo principal é a eliminação de Gauss (ou Gauss–Jordan) e o uso do produto dos pivôs para o determinante, além da técnica de ampliar a matriz com a identidade para obter a inversa.

Passo 2

Algoritmo para o determinante de uma matriz n\times n por eliminação de Gauss:
  1. Inicialize \mathrm{det}\gets 1 e \mathrm{sign}\gets 1.
  2. Para k=1 até n:
    a) Se o pivô a_{kk} for zero, procure uma linha i>k com a_{ik}\neq0. Se encontrar, troque a linha k com a linha i e faça \mathrm{sign}\gets -\mathrm{sign}. Caso não encontre, então \mathrm{det}=0 e encerre.
    b) Multiplique \mathrm{det} por a_{kk}.
    c) Para cada linha i=k+1,\dots,n, elimine a_{ik} usando o multiplicador m_{ik}=a_{ik}/a_{kk} e atualize a linha i.
  3. O determinante final é \mathrm{sign}\times\mathrm{det}.

Passo 3

Algoritmo para a inversa de uma matriz n\times n (Gauss–Jordan):
  1. Forme a matriz aumentada \bigl[A\mid I_n\bigr].
  2. Para k=1 até n:
    a) Se o pivô a_{kk}=0, troque com alguma linha abaixo que tenha a_{ik}\neq0. Se não houver, não existe inversa.
    b) Divida toda a linha k por a_{kk} para tornar o pivô igual a 1.
    c) Para cada linha i\neq k, elimine o elemento a_{ik} usando o multiplicador m_{ik}=a_{ik} e atualize a linha i.
  3. Ao final, o lado direito da matriz aumentada será A^{-1}.

Passo 4

Aplicando o algoritmo de Gauss para o determinante de
A=\begin{pmatrix} 1{,}4 & -1{,}3 & 0{,}6\\\\ 0{,}8 & -0{,}9 & 1{,}0\\\\ -1{,}1& 0{,}0 & 0{,}1 \end{pmatrix}
  1. Pivô a_{11}=1{,}4\neq0. Não há troca de linhas.
  2. Eliminação na coluna 1: m_{21}=\frac{0{,}8}{1{,}4}=0{,}5714286,\quad m_{31}=\frac{-1{,}1}{1{,}4}=-0{,}7857143.Depois da eliminação, a submatriz 2\times2 é
    \begin{pmatrix}-0{,}1571429 & 0{,}6571429\\\ -1{,}0214286 & 0{,}5714286\end{pmatrix}.
  3. Pivô a_{22}=-0{,}1571429\neq0. Eliminação na coluna 2: m_{32}=\frac{-1{,}0214286}{-0{,}1571429}=6{,}5,resultando em a_{33}=-3{,}7.
  4. O determinante é o produto dos pivôs sem troca de sinal:
\det(A)=1{,}4\times(-0{,}1571429)\times(-3{,}7)=0{,}814.

Passo 5

Aplicando Gauss–Jordan para obter A^{-1}:
  1. Monte \bigl[A\mid I\bigr] e elimine abaixo dos pivôs a_{11},a_{22},a_{33} usando os mesmos m_{21},m_{31},m_{32} do passo anterior, atualizando também o bloco direito (identidade).
  2. Depois normalize cada linha pelo pivô e elimine acima dos pivôs para transformar o lado esquerdo em I_3.
  3. O resultado no lado direito é
A^{-1}=\begin{pmatrix} -0{,}1158425 & 0{,}1634576 & -0{,}9334617\\\\ -1{,}4545455 & 0{,}9868421 & -1{,}1307820\\\\ -1{,}2162162 & 1{,}7567568 & -0{,}2702703 \end{pmatrix}.

Resposta

\det(A)=0{,}814
A^{-1}=\begin{pmatrix} -0{,}1158425 & 0{,}1634576 & -0{,}9334617\\\\ -1{,}4545455 & 0{,}9868421 & -1{,}1307820\\\\ -1{,}2162162 & 1{,}7567568 & -0{,}2702703 \end{pmatrix}.

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