[04] Utilizando o método de eliminação de Gauss, escreva algoritmos para calcular o determinante e a inversa de uma matriz (caso seja possível). Aplique os algoritmos obtidos na matriz
O enunciado pede para usar o método de eliminação de Gauss em duas aplicações: uma para calcular o determinante de uma matriz quadrada e outra para encontrar sua inversa (caso ela exista). O conteúdo principal é a eliminação de Gauss (ou Gauss–Jordan) e o uso do produto dos pivôs para o determinante, além da técnica de ampliar a matriz com a identidade para obter a inversa.
Passo 2
Algoritmo para o determinante de uma matriz n\times n por eliminação de Gauss:
Inicialize \mathrm{det}\gets 1 e \mathrm{sign}\gets 1.
Para k=1 até n:
a) Se o pivô a_{kk} for zero, procure uma linha i>k com a_{ik}\neq0. Se encontrar, troque a linha k com a linha i e faça \mathrm{sign}\gets -\mathrm{sign}. Caso não encontre, então \mathrm{det}=0 e encerre.
b) Multiplique \mathrm{det} por a_{kk}.
c) Para cada linha i=k+1,\dots,n, elimine a_{ik} usando o multiplicador m_{ik}=a_{ik}/a_{kk} e atualize a linha i.
O determinante final é \mathrm{sign}\times\mathrm{det}.
Passo 3
Algoritmo para a inversa de uma matriz n\times n (Gauss–Jordan):
Forme a matriz aumentada \bigl[A\mid I_n\bigr].
Para k=1 até n:
a) Se o pivô a_{kk}=0, troque com alguma linha abaixo que tenha a_{ik}\neq0. Se não houver, não existe inversa.
b) Divida toda a linha k por a_{kk} para tornar o pivô igual a 1.
c) Para cada linha i\neq k, elimine o elemento a_{ik} usando o multiplicador m_{ik}=a_{ik} e atualize a linha i.
Ao final, o lado direito da matriz aumentada será A^{-1}.
Passo 4
Aplicando o algoritmo de Gauss para o determinante de
Eliminação na coluna 1:m_{21}=\frac{0{,}8}{1{,}4}=0{,}5714286,\quad m_{31}=\frac{-1{,}1}{1{,}4}=-0{,}7857143.Depois da eliminação, a submatriz 2\times2 é \begin{pmatrix}-0{,}1571429 & 0{,}6571429\\\ -1{,}0214286 & 0{,}5714286\end{pmatrix}.
Pivô a_{22}=-0{,}1571429\neq0. Eliminação na coluna 2:m_{32}=\frac{-1{,}0214286}{-0{,}1571429}=6{,}5,resultando em a_{33}=-3{,}7.
O determinante é o produto dos pivôs sem troca de sinal:
Monte \bigl[A\mid I\bigr] e elimine abaixo dos pivôs a_{11},a_{22},a_{33} usando os mesmos m_{21},m_{31},m_{32} do passo anterior, atualizando também o bloco direito (identidade).
Depois normalize cada linha pelo pivô e elimine acima dos pivôs para transformar o lado esquerdo em I_3.