[06] Para que valores de k é possível obter a fatoração L U da matriz A dos coeficientes no seguinte sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y-2 z=10 \\\\ 3 x+2 y+2 z=1 \\\\ 5 x+4 y+k z=4 \end{array}\right.
Ache a solução dos sistema linear quando k=3 (caso seja possível).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, determinar para quais valores de k a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\\\ 3 & 2 & 2 \\\\ 5 & 4 & k \end{pmatrix}
admite fatoração LU sem pivoteamento; segundo, resolver o sistema quando k=3, se for possível. Vamos usar o fato de que a fatoração LU existe sem pivôs nulos se, e somente se, todos os menores principais (leading principal minors) de A forem não nulos.

Passo 2

Calculamos o menor principal de ordem 1, que é simplesmente o elemento a_{11}:
\det\bigl([2]\bigr)=2\neq 0.

Passo 3

Calculamos o menor principal de ordem 2, que é o determinante do bloco
\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&2\end{pmatrix}:
\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&2\end{pmatrix} =2\cdot2-3\cdot1 =4-3 =1\neq 0.

Passo 4

Calculamos o determinante de A (menor principal de ordem 3):
\det(A) =\begin{vmatrix} 2 & 1 & -2\\\\ 3 & 2 & 2\\\\ 5 & 4 & k \end{vmatrix} =k-10.
Logo, \det(A)\neq0 desde que k\neq10. Concluímos que a fatoração LU sem pivoteamento existe exatamente para
k\neq 10.

Passo 5

Agora, para k=3\), o sistema fica \[\begin{cases} 2x + y -2z = 10,\\\\ 3x +2y +2z = 1,\\\\ 5x +4y +3z = 4. \end{cases}
Da primeira equação isolamos (y]:
y = 10 -2x +2z.

Passo 6

Substituindo em 3x+2y+2z=1, obtemos
3x +2\bigl(10-2x+2z\bigr)+2z = 1 \;\Longrightarrow\; -x +6z = -19 \;\Longrightarrow\; x = 6z +19.

Passo 7

Substituindo y na terceira equação 5x+4y+3z=4, obtemos
5x +4\bigl(10-2x+2z\bigr)+3z = 4 \;\Longrightarrow\; -3x +11z = -36 \;\Longrightarrow\; x = \frac{11z+36}{3}.

Passo 8

Igualando as duas expressões para x:
6z +19 = \frac{11z+36}{3} \;\Longrightarrow\; 18z +57 = 11z +36 \;\Longrightarrow\; 7z = -21 \;\Longrightarrow\; z = -3.
Então
x = 6(-3) +19 = 1, \qquad y = 10 -2\cdot1 +2(-3) = 2.

Resposta

A fatoração LU sem pivoteamento existe para todos os k\neq 10.
Para k=3, a solução do sistema é
(x,y,z) = (1,\,2,\,-3).

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