Seja o sistema de aritmética de ponto flutuante \mathcal{F}(10,5, L, U). Dados os números:
x=0.72378 \times 10^{4}, \quad y=0.21457 \times 10^{-3}, \quad z=0.25858 \times 10^{-1},
efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e z estão exatamente representados:
(a) x-y+z

Passo 1

O enunciado define o sistema de ponto flutuante \mathcal{F}(10,5,L,U) (base 10, 5 dígitos de mantissa) e pede para calcular a expressão x - y + z em ponto flutuante usando arredondamento para 5 dígitos significativos, partindo de
x = 0.72378\times10^{4},\quad y = 0.21457\times10^{-3},\quad z = 0.25858\times10^{-1}.
Vamos simular cada operação com arredondamento e depois comparar com o valor exato para obter o erro relativo.

Passo 2

Calcular x - y exatamente e então arredondar a 5 dígitos.
O valor exato é
x - y = 0.72378\times10^{4} - 0.21457\times10^{-3} = 7237.8 - 0.00021457 = 7237.79978543.
Em notação normalizada:
7237.79978543 = 0.723779978543\times10^{4}.
Mantendo 5 dígitos e arredondando pelo 6º dígito (que é 9), fica
\mathrm{fl}(x - y) = 0.72378\times10^{4}.

Passo 3

Agora somamos \mathrm{fl}(x - y) com z e arredondamos de novo.
Exatamente,
\mathrm{fl}(x - y) + z = 7237.8 + 0.025858 = 7237.825858.
Em notação normalizada:
7237.825858 = 0.7237825858\times10^{4}.
Os primeiros 5 dígitos são 72378, o 6º dígito é 2, logo não há incremento, e
\mathrm{fl}\bigl(\mathrm{fl}(x - y) + z\bigr) = 0.72378\times10^{4}.
Ou seja, o resultado final em ponto flutuante é igual a x.

Passo 4

Calcular o valor exato de x - y + z e o erro relativo.
O valor exato é
x - y + z = 7237.79978543 + 0.025858 = 7237.82564343.
O valor aproximado em ponto flutuante é 7237.8. Portanto o erro relativo é
\frac{\bigl|7237.8 - 7237.82564343\bigr|}{7237.82564343} = \frac{0.02564343}{7237.82564343} \approx 3{,}54\times10^{-6}.

Resposta

O resultado em \mathcal{F}(10,5,L,U) é
\mathrm{fl}(x - y + z) = 0.72378\times10^{4},
e o erro relativo associado é aproximadamente 3{,}54\times10^{-6}.

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