[05] Usando o método das secantes, resolva a equação
, com precisão
.
Sugestão: Utilize
e
como aproximações iniciais.
Sugestão: Utilize
Passo 1
O enunciado pede que a equação
seja resolvida usando o método das secantes com precisão
. Foram sugeridas as aproximações iniciais
e
.
Informações dadas e o que precisamos entregar:
Informações dadas e o que precisamos entregar:
- Equação:
. - Função associada:
. - Aproximações iniciais:
e . - Precisão desejada:
. - Resultado: uma aproximação
tal que o critério de parada (que vamos escolher e explicar no passo seguinte) seja satisfeito.
Passo 2
O que é o método das secantes e qual critério de parada vamos usar.
- Ideia: o método das secantes aproxima a raiz de
pela interseção com o eixo da reta que passa pelos pontos e . Substituindo a equação da reta obtemos a iteração
- Significado das variáveis:
e são as duas últimas aproximações conhecidas; e são os valores da função nessas abscissas; é a próxima aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo . - Critério de parada: vou usar
(diferença entre iterações consecutivas menor que ), que é prático e comum em provas. Aqui .
Passo 3
Calculamos os primeiros valores necessários. Definimos
.
Aplicamos a fórmula da secante para obter
:
Logo
. Verificamos a condição de parada:
, então continuamos.
Passo 4
Calculamos
. Primeiro o valor de
:
Agora a iteração:
Calculando passo a passo (frações facilitam):
.
Denominador:
Razão:
Portanto
Denominador:
Razão:
Portanto
Verificação do critério:
Continuamos.
Passo 5
Calculamos
. Primeiro
. Como
,
Aplicando a fórmula (usando
e
):
Calculemos numericamente com cuidado:
-
-
. -
. - Denominador:
- Numerador da fração:
- Fração completa
Então
Verificação do critério:
. Ainda não parou.
Passo 6
Calculamos
. Primeiro
. Com
,
Agora a iteração usando
e
:
Cálculos numéricos:
-
-
. -
. - Denominador:
- Numerador:
- Fração completa
Portanto
Verificação do critério:
. Continua.
Passo 7
Calculamos
. Primeiro
com
:
Agora a iteração com
e
:
Cálculos numéricos:
-
-
. -
. - Denominador:
- Numerador:
- Fração completa
Portanto
Verificação do critério:
O critério de parada foi satisfeito, então paramos aqui. Isso nos dá uma aproximação da raiz com a precisão pedida.