[05] Usando o método das secantes, resolva a equação x^{3}-\frac{1}{2}=0, com precisão \epsilon=0.01.
Sugestão: Utilize x_{0}=0 e x_{1}=1 como aproximações iniciais.

Passo 1

O enunciado pede que a equação x^{3}-\tfrac{1}{2}=0 seja resolvida usando o método das secantes com precisão \epsilon=0,01. Foram sugeridas as aproximações iniciais x_{0}=0 e x_{1}=1.
Informações dadas e o que precisamos entregar:
  • Equação: x^{3}-\tfrac{1}{2}=0.
  • Função associada: f(x)=x^{3}-\tfrac{1}{2}.
  • Aproximações iniciais: x_{0}=0 e x_{1}=1.
  • Precisão desejada: \epsilon=0,01.
  • Resultado: uma aproximação x tal que o critério de parada (que vamos escolher e explicar no passo seguinte) seja satisfeito.

Passo 2

O que é o método das secantes e qual critério de parada vamos usar.
  • Ideia: o método das secantes aproxima a raiz de f(x)=0 pela interseção com o eixo x da reta que passa pelos pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_{n},f(x_{n})). Substituindo a equação da reta obtemos a iteração
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  • Significado das variáveis: x_{n-1} e x_{n} são as duas últimas aproximações conhecidas; f(x_{n-1}) e f(x_{n}) são os valores da função nessas abscissas; x_{n+1} é a próxima aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo x.
  • Critério de parada: vou usar |x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon (diferença entre iterações consecutivas menor que \epsilon), que é prático e comum em provas. Aqui \epsilon=0,01.

Passo 3

Calculamos os primeiros valores necessários. Definimos f(x)=x^{3}-\tfrac{1}{2}.
  • f(x_{0})=f(0)=0^{3}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
  • f(x_{1})=f(1)=1^{3}-\tfrac{1}{2}=+\tfrac{1}{2}.
Aplicamos a fórmula da secante para obter x_{2}:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})} =1-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1-0}{\tfrac{1}{2}-\left(-\tfrac{1}{2}\right)} =1-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Logo x_{2}=\tfrac{1}{2}=0,5. Verificamos a condição de parada:
|x_{2}-x_{1}|=|0,5-1|=0,5\ge 0,01, então continuamos.

Passo 4

Calculamos x_{3}. Primeiro o valor de f(x_{2}):
f(x_{2})=f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{3}{8}.
Agora a iteração:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})} =\tfrac{1}{2}-\left(-\tfrac{3}{8}\right)\frac{\tfrac{1}{2}-1}{-\tfrac{3}{8}-\tfrac{1}{2}}.
Calculando passo a passo (frações facilitam):
\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}.
-\tfrac{3}{8}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{3}{16}.
Denominador: -\tfrac{3}{8}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{3}{8}-\tfrac{4}{8}=-\tfrac{7}{8}.
Razão: \dfrac{\tfrac{3}{16}}{-\tfrac{7}{8}}=\tfrac{3}{16}\cdot\left(-\tfrac{8}{7}\right)=-\tfrac{3}{14}.
Portanto
x_{3}=\tfrac{1}{2}-\left(-\tfrac{3}{14}\right)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{3}{14}=\tfrac{10}{14}=\tfrac{5}{7}\approx 0,7142857.
Verificação do critério:
|x_{3}-x_{2}|=|\tfrac{5}{7}-\tfrac{1}{2}|=\tfrac{3}{14}\approx 0,2143\ge 0,01. Continuamos.

Passo 5

Calculamos x_{4}. Primeiro f(x_{3}). Como x_{3}=\tfrac{5}{7},
f(x_{3})=\left(\tfrac{5}{7}\right)^{3}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{125}{343}-\tfrac{1}{2} =\tfrac{250-343}{686}=-\tfrac{93}{686}\approx -0,1355685.
Aplicando a fórmula (usando x_{2}=\tfrac{1}{2} e x_{3}=\tfrac{5}{7}):
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Calculemos numericamente com cuidado:
  • x_{3}-x_{2}=\tfrac{5}{7}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{14}\approx 0,2142857.
  • f(x_{3})\approx -0,1355685.
  • f(x_{2})=-\tfrac{3}{8}=-0,375.
  • Denominador: f(x_{3})-f(x_{2})\approx -0,1355685-(-0,375)=0,2394315.
  • Numerador da fração: f(x_{3})\cdot (x_{3}-x_{2})\approx -0,1355685\cdot 0,2142857\approx -0,0290504.
  • Fração completa \approx -0,0290504/0,2394315\approx -0,12133.
    Então
x_{4}\approx 0,7142857-(-0,12133)\approx 0,8356154.
Verificação do critério:
|x_{4}-x_{3}|\approx 0,12133\ge 0,01. Ainda não parou.

Passo 6

Calculamos x_{5}. Primeiro f(x_{4}). Com x_{4}\approx 0,8356154,
f(x_{4})=x_{4}^{3}-\tfrac{1}{2}\approx 0,8356154^{3}-0,5\approx 0,5834455-0,5\approx 0,0834455.
Agora a iteração usando x_{3} e x_{4}:
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})}.
Cálculos numéricos:
  • x_{4}-x_{3}\approx 0,1213297.
  • f(x_{4})\approx 0,0834455.
  • f(x_{3})\approx -0,1355685.
  • Denominador: f(x_{4})-f(x_{3})\approx 0,0834455-(-0,1355685)=0,2190140.
  • Numerador: f(x_{4})\cdot (x_{4}-x_{3})\approx 0,0834455\cdot 0,1213297\approx 0,0101195.
  • Fração completa \approx 0,0101195/0,2190140\approx 0,046199.
    Portanto
x_{5}\approx 0,8356154-0,046199\approx 0,7894164.
Verificação do critério:
|x_{5}-x_{4}|\approx 0,04620\ge 0,01. Continua.

Passo 7

Calculamos x_{6}. Primeiro f(x_{5}) com x_{5}\approx 0,7894164:
f(x_{5})=x_{5}^{3}-\tfrac{1}{2}\approx 0,7894164^{3}-0,5\approx 0,4919472-0,5\approx -0,0080528.
Agora a iteração com x_{4} e x_{5}:
x_{6}=x_{5}-f(x_{5})\frac{x_{5}-x_{4}}{f(x_{5})-f(x_{4})}.
Cálculos numéricos:
  • x_{5}-x_{4}\approx -0,0461990.
  • f(x_{5})\approx -0,0080528.
  • f(x_{4})\approx 0,0834455.
  • Denominador: f(x_{5})-f(x_{4})\approx -0,0080528-0,0834455=-0,0914983.
  • Numerador: f(x_{5})\cdot (x_{5}-x_{4})\approx (-0,0080528)\cdot(-0,0461990)\approx 0,0003727.
  • Fração completa \approx 0,0003727/(-0,0914983)\approx -0,004075.
    Portanto
x_{6}\approx 0,7894164-(-0,004075)\approx 0,7934914.
Verificação do critério:
|x_{6}-x_{5}|\approx 0,004075<0,01. O critério de parada foi satisfeito, então paramos aqui. Isso nos dá uma aproximação da raiz com a precisão pedida.

Resposta

x\approx 0,79349

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