[06] Resolva a equação \sin (x)+x+2=0 utilizando os seguintes métodos numéricos: bisseção, posição falsa, ponto fixo, Newton-Raphson e secante, com precisão \epsilon=0.0001.
Sugestão: Tabule os resultados obtidos por cada método, considerando:
  • n (número de iterações),
  • x_{n} (valor aproximado da raiz da equação),
  • Erro (diferença entre o valor atual e o valor anterior).
Após calcular as raízes com cada método, faça observações e comparações sobre:
  • Qual método apresentou uma convergência mais rápida.
  • Como a escolha da aproximação inicial ou do intervalo influencia os resultados dos métodos.

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma raiz da equação
\sin(x)+x+2=0
com precisão \epsilon=0{,}0001 (critério de parada: |x_{n}-x_{n-1}|<\epsilon).\n
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função que vamos resolver é f(x)=\sin(x)+x+2.\n
  • Avaliando alguns pontos (usei valores padrão de \sin e \cos): f(-2)=\sin(-2)-2+2=\sin(-2)\approx -0{,}909297,
f(-1)=\sin(-1)-1+2=\sin(-1)+1\approx -0{,}841471+1=0{,}158529.
Como f(-2)<0 e f(-1)>0, existe pelo menos uma raiz no intervalo (-2,-1).\n
  • Critério de parada pedido: diferença entre aproximações sucessivas menor que \epsilon=0{,}0001.\n
  • Vou aplicar os cinco métodos pedidos (bisseção, posição falsa, ponto fixo, Newton-Raphson e secante) usando o mesmo intervalo inicial [-2,-1] quando aplicável, ou aproximações razoáveis quando o método exigir ponto inicial. Não vou pedir nada adicional — escolhi aproximações iniciais naturais ( a=-2,\;b=-1; para método de ponto fixo e Newton escolhi x_0=-1{,}5; para secante escolhi x_0=-2,\;x_1=-1).\n
    Pronto: agora vou ensinar cada método e calcular passo a passo até \epsilon.

Passo 2

Bisseção — teoria rápida e fórmula usada\n
  • Ideia: se f(a) e f(b) têm sinais opostos, a raiz está em (a,b). Tomamos o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}. Se f(m)=0 paramos; senão substituímos o subintervalo (a,m) ou (m,b) que contém a mudança de sinal. Repetimos.\n
  • Neste método a sequência de aproximações é x_n = ponto médio do intervalo atual; erro em cada iteração é |x_n-x_{n-1}|. A convergência é linear e bastante regular.\n
    Dados iniciais: a_0=-2,\;b_0=-1,\;f(a_0)\approx -0{,}909297,\;f(b_0)\approx 0{,}158529.\n
    Cálculo (cada linha mostra: iteração n, a, b, m=(a+b)/2, f(m) aproximado, e erro |m-m_{anterior}| quando aplicável):\n
  • Iteração 1: m_1=-1{,}5. f(-1{,}5)=\sin(-1{,}5)-1{,}5+2\approx -0{,}997495-1{,}5+2=-0{,}497495 (negativo). Atualizo a=-1{,}5. (erro não aplicável)\n
  • Iteração 2: m_2=-1{,}25. \sin(1{,}25)\approx 0{,}948985\Rightarrow f(-1{,}25)\approx -0{,}198985 (negativo). Atualizo a=-1{,}25. Erro |m_2-m_1|=0{,}25.\n
  • Iteração 3: m_3=-1{,}125. \sin(1{,}125)\approx 0{,}902274\Rightarrow f(-1{,}125)\approx -0{,}027274 (negativo). Atualizo a=-1{,}125. Erro 0{,}125.\n
  • Iteração 4: m_4=-1{,}0625. \sin(1{,}0625)\approx 0{,}873577\Rightarrow f(-1{,}0625)\approx 0{,}063923 (positivo). Atualizo b=-1{,}0625. Erro 0{,}0625.\n
  • Iteração 5: m_5=-1{,}09375. \sin(1{,}09375)\approx 0{,}888355\Rightarrow f(-1{,}09375)\approx 0{,}017895 (positivo). Atualizo b=-1{,}09375. Erro 0{,}03125.\n
  • Iteração 6: m_6=-1{,}109375. \sin(1{,}109375)\approx 0{,}895356\Rightarrow f(-1{,}109375)\approx -0{,}004730 (negativo). Atualizo a=-1{,}109375. Erro 0{,}015625.\n
  • Iteração 7: m_7=-1{,}1015625. \sin(1{,}1015625)\approx 0{,}891908\Rightarrow f(-1{,}1015625)\approx 0{,}006530 (positivo). Atualizo b=-1{,}1015625. Erro 0{,}0078125.\n
  • Iteração 8: m_8=-1{,}10546875. \sin(1{,}10546875)\approx 0{,}893698\Rightarrow f(-1{,}10546875)\approx 0{,}000833 (positivo). Atualizo b=-1{,}10546875. Erro 0{,}00390625.\n
  • Iteração 9: m_9=-1{,}107421875. \sin(1{,}107421875)\approx 0{,}894760\Rightarrow f(-1{,}107421875)\approx -0{,}002182 (negativo). Atualizo a=-1{,}107421875. Erro 0{,}001953125.\n
  • Iteração 10: m_{10}=-1{,}1064453125. \sin(1{,}1064453125)\approx 0{,}894107\Rightarrow f(-1{,}1064453125)\approx -0{,}000552 (negativo). Atualizo a=-1{,}1064453125. Erro 0{,}0009765625.\n
  • Iteração 11: m_{11}=-1{,}10595703125. \sin(1{,}10595703125)\approx 0{,}893993\Rightarrow f(-1{,}10595703125)\approx 0{,}000049 (positivo). Atualizo b=-1{,}10595703125. Erro 0{,}00048828125.\n
  • Iteração 12: m_{12}=-1{,}106201171875. Avaliação: f(m_{12})\approx -0{,}000249 (negativo). Atualizo a=-1{,}106201171875. Erro 0{,}000244140625.\n
  • Iteração 13: m_{13}=-1{,}1060791015625. Avaliação: f(m_{13}) é muito pequeno (aprox. negativo fracionário). Erro |m_{13}-m_{12}|=0{,}0001220703125 (ainda maior que \epsilon).\n
  • Iteração 14: m_{14}=-1{,}10601806640625. Erro |m_{14}-m_{13}|=0{,}00006103515625<0{,}0001. Paro.\n
    Resultado do método da bisseção: aproximação final x\approx -1{,}10601806640625 após n=14 iterações, com erro entre últimas iterações \approx 6{,}103515625\times 10^{-5}.

Passo 3

Posição falsa (regula falsi) — teoria e aplicação\n
  • Fórmula da iteração: a cada passo tomamos
x = \frac{a f(b) - b f(a)}{f(b)-f(a)},
que é a interseção da reta que une (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. Substituímos o extremo que tem o mesmo sinal de f(x) pelo novo x.\n
  • Começo com a_0=-2,\;b_0=-1, f(a_0)\approx -0{,}909297,\;f(b_0)\approx 0{,}158529.\n
    Cálculo iterativo (mostro as iterações até |x_{n}-x_{n-1}|<\epsilon):\n
  • Iteração 1: x_1=\dfrac{-2\cdot 0{,}158529 -(-1)\cdot(-0{,}909297)}{0{,}158529-(-0{,}909297)}\approx -1{,}148197. Avaliando f(x_1)\approx -0{,}060127 (negativo). Atualizo a\leftarrow x_1.\n
  • Iteração 2: com a=-1{,}148197,\;b=-1: x_2\approx -1{,}107700. f(x_2)\approx -0{,}0026 (negativo). Atualizo a\leftarrow x_2.\n
  • Iteração 3: com a\approx -1{,}107700,\;b=-1: x_3\approx -1{,}106020. f(x_3) já muito pequeno (ordem 10^{-5} ou 10^{-4}), diferença |x_3-x_2|\approx 0{,}00168 ainda > \epsilon.\n
  • Iteração 4: uma iteração adicional dá x_4\approx -1{,}106033 e |x_4-x_3| <0{,}0001.\n
    Resultado da posição falsa: converge rápido; finalizei com n=4, x\approx -1{,}106033 e erro \approx 1{,}2\times 10^{-5} (diferença entre as duas últimas iterações).

Passo 4

Ponto fixo — teoria, escolha de g e aplicação\n
  • Reescrever f(x)=0 como x=g(x). Uma opção natural é
x = -\sin(x)-2,
ou seja g(x)=-\sin(x)-2. Então iteramos x_{n+1}=g(x_n).\n
  • Condição de convergência local (contratante): se |g'(x)|<1 perto da raiz então a iteração será convergente; aqui g'(x)=-\cos(x). Na raiz aproximada \cos(x)\approx 0{,}448, então |g'|\approx 0{,}448<1: boa notícia — o método converge, mas com taxa linear e relativamente lenta (fator aproximadamente 0{,}448).\n
  • Escolhi x_0=-1{,}5. Vou iterar até |x_{n+1}-x_n|<0{,}0001. Cálculo (apresento iterações e erro):\n
    • x_0=-1{,}5.\n
    • x_1=g(x_0)=-\sin(-1{,}5)-2\approx 0{,}997495-2=-1{,}002505. Erro \approx 0{,}497495.\n
    • x_2=g(x_1)=-\sin(-1{,}002505)-2\approx -1{,}157180. Erro \approx 0{,}154675.\n
    • x_3\approx -1{,}084592. Erro \approx 0{,}072588.\n
    • x_4\approx -1{,}116277. Erro \approx 0{,}031685.\n
    • x_5\approx -1{,}101709. Erro \approx 0{,}014568.\n
    • x_6\approx -1{,}108054. Erro \approx 0{,}006345.\n
    • x_7\approx -1{,}104889. Erro \approx 0{,}003165.\n
    • x_8\approx -1{,}106622. Erro \approx 0{,}001733.\n
    • x_9\approx -1{,}105780. Erro \approx 0{,}000842.\n
    • x_{10}\approx -1{,}106245. Erro \approx 0{,}000465.\n
    • x_{11}\approx -1{,}106038. Erro \approx 0{,}000207.\n
    • x_{12}\approx -1{,}106129. Erro \approx 0{,}000091 < 0{,}0001.\n
  • Resultado do ponto fixo: levou n=12 iterações para atingir o critério, com aproximação x\approx -1{,}106129 (a sequência oscila e convergiu linearmente; a aproximação final difere do valor obtido por Newton em poucas unidades nos décimos de milésimo). Observação: o resultado final fica muito próximo de -1{,}10603, e o método foi mais lento que Newton, falsa posição e secante.

Passo 5

Newton-Raphson — teoria e execução\n
  • Fórmula: para f(x)=\sin(x)+x+2 usamos f'(x)=\cos(x)+1. A iteração é
x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Escolhi x_0=-1{,}5. Newton costuma convergir rápido (quando f' não é pequeno e a aproximação inicial está razoavelmente perto da raiz).\n
    Cálculo iterativo (avaliei \sin e \cos com aproximações decentes para cada iteração):\n
  • Iteração 0: x_0=-1{,}5. f(x_0)\approx -0{,}49749499. f'(x_0)=1+\cos(-1{,}5)=1+0{,}0707372\approx 1{,}0707372.\n
  • Iteração 1: \displaystyle x_1 = -1{,}5 - \frac{-0{,}49749499}{1{,}0707372}\approx -1{,}035312.\n
    Calculei \sin(1{,}035312)\approx 0{,}8600083, então f(x_1)\approx 0{,}1046797, f'(x_1)\approx 1{,}5102806.\n
  • Iteração 2: \displaystyle x_2 \approx -1{,}035312 - \frac{0{,}1046797}{1{,}5102806}\approx -1{,}104623.\n
    Avaliação: f(x_2)\approx 0{,}002077, f'(x_2)\approx 1{,}449491.\n
  • Iteração 3: \displaystyle x_3 \approx -1{,}104623 - \frac{0{,}002077}{1{,}449491}\approx -1{,}106056.\n
    Aqui f(x_3)\approx -3{,}4\times 10^{-5} e a correção seguinte é pequena.\n
  • Iteração 4: \displaystyle x_4 \approx -1{,}106056 - \frac{-3{,}4\times 10^{-5}}{1{,}448235}\approx -1{,}106033.\n
    Diferença entre x_4 e x_3 é \approx 2{,}35\times 10^{-5}<0{,}0001. Paro.\n
    Resultado do Newton-Raphson: n=4 iterações, aproximação final x\approx -1{,}106033, erro entre últimas iterações \approx 2{,}35\times 10^{-5}. Newton foi rápido e com ótima precisão em poucas iterações.

Passo 6

Secante — teoria e aplicação\n
  • Fórmula (usando dois últimos pontos x_{n-1},x_n):
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Escolhi x_0=-2,\;x_1=-1. Secante costuma ter convergência super-linear (ordem aproximada 1{,}618, melhor que linear mas pior que quadrática do Newton), e não precisa do derivado.\n
    Cálculo (resumo das iterações):\n
  • x_0=-2, f_0\approx -0{,}909297.\n
  • x_1=-1, f_1\approx 0{,}158529.\n
  • Iteração 1 (gera x_2): x_2\approx -1{,}148527. f(x_2)\approx -0{,}0606.\n
  • Iteração 2: a partir de x_1,x_2 vem x_3\approx -1{,}107437. f(x_3)\approx -0{,}0021.\n
  • Iteração 3: gera x_4\approx -1{,}105937. Diferença |x_4-x_3|\approx 0{,}0015 ainda maior que \epsilon.\n
  • Iteração 4: gera x_5\approx -1{,}106032. Diferença |x_5-x_4|<0{,}0001. Paro.\n
    Resultado do método da secante: terminou em n=5 iterações com x\approx -1{,}106032 e erro final inferior a 10^{-4}.

Passo 7

Observações e comparações finais (didáticas, honestas e práticas)\n
  • Convergência mais rápida: Newton-Raphson foi o mais rápido (chegou em n=4 iterações), seguido de perto por posição falsa e secante (cada um convergiu em poucas iterações: posição falsa em n=4, secante em n=5). O ponto fixo convergiu, mas bem mais devagar (aprox. n=12). A bisseção foi o mais lento (precisou de n=14 porque seu ganho de informação é fixo por iteração — metade do intervalo).\n
  • Por que Newton é rápido? Porque tem convergência quadrática quando a aproximação inicial está suficientemente próxima e f' não é muito pequeno. Cada iteração dá muitas casas decimais extras.\n
  • Posição falsa e secante: combinam boa rapidez sem precisar do cálculo explícito da derivada (posição falsa usa secante com ponto fixo de um extremo), por isso em muitos problemas práticos são boas escolhas quando f' é custoso de obter.\n
  • Ponto fixo: útil quando achamos uma boa rearrumação g(x) com |g'(x)|<1 próximo da raiz; porém a escolha de g é crucial. Aqui escolhemos g(x)=-\sin(x)-2 e |g'|\approx 0{,}448 na raiz, então há convergência, mas linear (mais lenta). Se tivéssemos escolhido uma g com |g'| próximo ou maior que 1, o método teria divergido.\n
  • Bisseção: é robusto (sempre converge se f(a)f(b)<0), mas lenta (convergência linear com fator 1/2 na largura do intervalo). Use quando precisar garantir convergência; use métodos mais rápidos quando puder (com cuidado).\n
  • Influência da aproximação inicial/intervalo:
    • Para métodos de intervalo (bisseção e posição falsa) a escolha do intervalo precisa garantir mudança de sinal; o tamanho do intervalo inicial influencia o número de iterações (intervalos maiores -> mais iterações na bisseção).
    • Para Newton e ponto fixo a aproximação inicial deve ser razoavelmente próxima da raiz; uma escolha ruim pode levar a divergência ou a convergência para outra raiz (quando houver). No nosso caso x_0=-1{,}5 funcionou bem para Newton e para ponto fixo.\n
  • Conclusão prática para provas: se você pode calcular f' e a função não tem comportamento complicado, Newton é a primeira escolha (poucas iterações). Se não pode calcular f', a secante é uma boa alternativa. Use bisseção quando precisar de robustez garantida. Ponto fixo é uma ferramenta conceitual importante — só cuide de escolher uma g contratante ( |g'|<1).\n
    Agora, como pediu: abaixo estão os resultados finais (número de iterações, x_n e erro |x_n-x_{n-1}|) para cada método.

Resposta

Bisseção: n=14,\;x_n=-1{,}10601806640625,\;\text{Erro}=6{,}103515625\times 10^{-5}
Posição falsa: n=4,\;x_n\approx -1{,}106033,\;\text{Erro}\approx 1{,}2\times 10^{-5}
Ponto fixo: n=12,\;x_n\approx -1{,}106129,\;\text{Erro}\approx 9{,}1\times 10^{-5}
Newton-Raphson: n=4,\;x_n\approx -1{,}106033,\;\text{Erro}\approx 2{,}35\times 10^{-5}
Secante: n=5,\;x_n\approx -1{,}106032,\;\text{Erro}<1\times 10^{-4}

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