[06] Resolva a equação
utilizando os seguintes métodos numéricos: bisseção, posição falsa, ponto fixo, Newton-Raphson e secante, com precisão
.
Sugestão: Tabule os resultados obtidos por cada método, considerando:
-
(número de iterações),
-
(valor aproximado da raiz da equação),
- Erro (diferença entre o valor atual e o valor anterior).
Após calcular as raízes com cada método, faça observações e comparações sobre:
- Qual método apresentou uma convergência mais rápida.
- Como a escolha da aproximação inicial ou do intervalo influencia os resultados dos métodos.
Sugestão: Tabule os resultados obtidos por cada método, considerando:
Passo 1
O enunciado pede encontrar uma raiz da equação
com precisão
(critério de parada:
).\n
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A função que vamos resolver é
.\n - Avaliando alguns pontos (usei valores padrão de
e ):
Como
e
, existe pelo menos uma raiz no intervalo
.\n
- Critério de parada pedido: diferença entre aproximações sucessivas menor que
.\n - Vou aplicar os cinco métodos pedidos (bisseção, posição falsa, ponto fixo, Newton-Raphson e secante) usando o mesmo intervalo inicial
quando aplicável, ou aproximações razoáveis quando o método exigir ponto inicial. Não vou pedir nada adicional — escolhi aproximações iniciais naturais ( ; para método de ponto fixo e Newton escolhi ; para secante escolhi ).\n
Pronto: agora vou ensinar cada método e calcular passo a passo até.
Passo 2
Bisseção — teoria rápida e fórmula usada\n
- Ideia: se
e têm sinais opostos, a raiz está em . Tomamos o ponto médio . Se paramos; senão substituímos o subintervalo ou que contém a mudança de sinal. Repetimos.\n - Neste método a sequência de aproximações é
ponto médio do intervalo atual; erro em cada iteração é . A convergência é linear e bastante regular.\n
Dados iniciais:.\n
Cálculo (cada linha mostra: iteração, , , , aproximado, e erro quando aplicável):\n - Iteração 1:
. (negativo). Atualizo . (erro não aplicável)\n - Iteração 2:
. (negativo). Atualizo . Erro .\n - Iteração 3:
. (negativo). Atualizo . Erro .\n - Iteração 4:
. (positivo). Atualizo . Erro .\n - Iteração 5:
. (positivo). Atualizo . Erro .\n - Iteração 6:
. (negativo). Atualizo . Erro .\n - Iteração 7:
. (positivo). Atualizo . Erro .\n - Iteração 8:
. (positivo). Atualizo . Erro .\n - Iteração 9:
. (negativo). Atualizo . Erro .\n - Iteração 10:
. (negativo). Atualizo . Erro .\n - Iteração 11:
. (positivo). Atualizo . Erro .\n - Iteração 12:
. Avaliação: (negativo). Atualizo . Erro .\n - Iteração 13:
. Avaliação: é muito pequeno (aprox. negativo fracionário). Erro (ainda maior que ).\n - Iteração 14:
. Erro . Paro.\n
Resultado do método da bisseção: aproximação finalapós iterações, com erro entre últimas iterações .
Passo 3
Posição falsa (regula falsi) — teoria e aplicação\n
- Fórmula da iteração: a cada passo tomamos
que é a interseção da reta que une
e
com o eixo
. Substituímos o extremo que tem o mesmo sinal de
pelo novo
.\n
- Começo com
, .\n
Cálculo iterativo (mostro as iterações até):\n - Iteração 1:
. Avaliando (negativo). Atualizo .\n - Iteração 2: com
: . (negativo). Atualizo .\n - Iteração 3: com
: . já muito pequeno (ordem ou ), diferença ainda > .\n - Iteração 4: uma iteração adicional dá
e já .\n
Resultado da posição falsa: converge rápido; finalizei com, e erro (diferença entre as duas últimas iterações).
Passo 4
Ponto fixo — teoria, escolha de
e aplicação\n
- Reescrever
como . Uma opção natural é
ou seja
. Então iteramos
.\n
- Condição de convergência local (contratante): se
perto da raiz então a iteração será convergente; aqui . Na raiz aproximada , então : boa notícia — o método converge, mas com taxa linear e relativamente lenta (fator aproximadamente ).\n - Escolhi
. Vou iterar até . Cálculo (apresento iterações e erro):\n -
.\n -
. Erro .\n -
. Erro .\n -
. Erro .\n -
. Erro .\n -
. Erro .\n -
. Erro .\n -
. Erro .\n -
. Erro .\n -
. Erro .\n -
. Erro .\n -
. Erro .\n -
. Erro .\n
-
- Resultado do ponto fixo: levou
iterações para atingir o critério, com aproximação (a sequência oscila e convergiu linearmente; a aproximação final difere do valor obtido por Newton em poucas unidades nos décimos de milésimo). Observação: o resultado final fica muito próximo de , e o método foi mais lento que Newton, falsa posição e secante.
Passo 5
Newton-Raphson — teoria e execução\n
- Fórmula: para
usamos . A iteração é
- Escolhi
. Newton costuma convergir rápido (quando não é pequeno e a aproximação inicial está razoavelmente perto da raiz).\n
Cálculo iterativo (avalieie com aproximações decentes para cada iteração):\n - Iteração 0:
. . .\n - Iteração 1:
\n
Calculei, então , .\n - Iteração 2:
\n
Avaliação:, .\n - Iteração 3:
\n
Aquie a correção seguinte é pequena.\n - Iteração 4:
\n
Diferença entree é . Paro.\n
Resultado do Newton-Raphson:iterações, aproximação final , erro entre últimas iterações . Newton foi rápido e com ótima precisão em poucas iterações.
Passo 6
Secante — teoria e aplicação\n
- Fórmula (usando dois últimos pontos
):
- Escolhi
. Secante costuma ter convergência super-linear (ordem aproximada , melhor que linear mas pior que quadrática do Newton), e não precisa do derivado.\n
Cálculo (resumo das iterações):\n -
, .\n -
, .\n - Iteração 1 (gera
): . .\n - Iteração 2: a partir de
vem . .\n - Iteração 3: gera
. Diferença ainda maior que .\n - Iteração 4: gera
. Diferença . Paro.\n
Resultado do método da secante: terminou emiterações com e erro final inferior a .
Passo 7
Observações e comparações finais (didáticas, honestas e práticas)\n
- Convergência mais rápida: Newton-Raphson foi o mais rápido (chegou em
iterações), seguido de perto por posição falsa e secante (cada um convergiu em poucas iterações: posição falsa em , secante em ). O ponto fixo convergiu, mas bem mais devagar (aprox. ). A bisseção foi o mais lento (precisou de porque seu ganho de informação é fixo por iteração — metade do intervalo).\n - Por que Newton é rápido? Porque tem convergência quadrática quando a aproximação inicial está suficientemente próxima e
não é muito pequeno. Cada iteração dá muitas casas decimais extras.\n - Posição falsa e secante: combinam boa rapidez sem precisar do cálculo explícito da derivada (posição falsa usa secante com ponto fixo de um extremo), por isso em muitos problemas práticos são boas escolhas quando
é custoso de obter.\n - Ponto fixo: útil quando achamos uma boa rearrumação
com próximo da raiz; porém a escolha de é crucial. Aqui escolhemos e na raiz, então há convergência, mas linear (mais lenta). Se tivéssemos escolhido uma com próximo ou maior que , o método teria divergido.\n - Bisseção: é robusto (sempre converge se
), mas lenta (convergência linear com fator na largura do intervalo). Use quando precisar garantir convergência; use métodos mais rápidos quando puder (com cuidado).\n - Influência da aproximação inicial/intervalo:
- Para métodos de intervalo (bisseção e posição falsa) a escolha do intervalo precisa garantir mudança de sinal; o tamanho do intervalo inicial influencia o número de iterações (intervalos maiores -> mais iterações na bisseção).
- Para Newton e ponto fixo a aproximação inicial deve ser razoavelmente próxima da raiz; uma escolha ruim pode levar a divergência ou a convergência para outra raiz (quando houver). No nosso caso
funcionou bem para Newton e para ponto fixo.\n
- Conclusão prática para provas: se você pode calcular
e a função não tem comportamento complicado, Newton é a primeira escolha (poucas iterações). Se não pode calcular , a secante é uma boa alternativa. Use bisseção quando precisar de robustez garantida. Ponto fixo é uma ferramenta conceitual importante — só cuide de escolher uma contratante ( ).\n
Agora, como pediu: abaixo estão os resultados finais (número de iterações,e erro ) para cada método.
Resposta
Bisseção:
Posição falsa:
Ponto fixo:
Newton-Raphson:
Secante:
Posição falsa:
Ponto fixo:
Newton-Raphson:
Secante: