[09] Use o método da Bissecção para obter pelo menos uma raiz das equações a seguir com precisão \epsilon=10^{-7}.
3^{5 x}+4 x=0

Passo 1

O enunciado pede a raiz da equação
3^{5x} + 4x = 0
usando o método da bissecção com precisão \epsilon = 10^{-7}.
Conteúdo: método numérico de busca de raiz em função contínua. Vamos precisar de um intervalo inicial [a_0,b_0] em que f(a_0) e f(b_0) tenham sinais opostos, definir
f(x) = 3^{5x} + 4x
e aplicar o procedimento de bissecção até que o tamanho do intervalo seja menor que 2\epsilon.

Passo 2

Definimos
f(x) = 3^{5x} + 4x.
Escolhemos a_0=-0,5 e b_0=0. Calculamos
f(-0,5) = 3^{5(-0,5)} + 4(-0,5) = 3^{-2,5} - 2 \approx 0,0641 - 2 = -1,9359 < 0,
f(0) = 3^{0} + 0 = 1 > 0.
Logo, há pelo menos uma raiz em [-0,5,0].

Passo 3

Aplicamos iterativamente a bissecção: em cada iteração k, calculamos o ponto médio
c_k = \frac{a_k + b_k}{2},
avaliamos f(c_k) e, se f(c_k) tem o mesmo sinal de f(a_k), substituímos a_{k+1} = c_k e b_{k+1} = b_k; caso contrário, fazemos a_{k+1} = a_k e b_{k+1} = c_k.
O critério de parada é
\frac{b_k - a_k}{2} < \epsilon.

Passo 4

Após N iterações, obtém-se um intervalo [a_N,b_N] com b_N - a_N < 2\cdot 10^{-7}. A aproximação da raiz é
x_N = \frac{a_N + b_N}{2}.
Executando o algoritmo até a condição de parada, obtemos
x_N \approx -0{,}1255458.

Resposta

A raiz aproximada da equação 3^{5x}+4x=0 pelo método da bissecção, com \epsilon=10^{-7}, é
x \approx -0{,}1255458.

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