Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão \epsilon=10^{-6}.
\frac{3 x}{7}-\tan (2 x-1)=0

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson e encontrar a menor raiz positiva da equação
\frac{3x}{7}-\tan\bigl(2x-1\bigr)=0
com precisão \epsilon=10^{-6}. O conteúdo é métodos numéricos de localização de raízes e vamos precisar da função f(x), sua derivada f'(x) e da fórmula iterativa de Newton–Raphson.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{3x}{7}-\tan\bigl(2x-1\bigr)
e calculamos a derivada usando \frac{d}{dx}\tan(u)=\operatorname{sec}^2(u)\,u':
f'(x)=\frac{3}{7}-\operatorname{sec}^2\bigl(2x-1\bigr)\cdot2.
A iteração de Newton–Raphson é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 3

Escolhemos um palpite inicial \,x_0=0,7 (pois f(0,5)>0 e f(1)<0). Calculamos as primeiras duas iterações:
Para x_0=0,7:
f(0,7)=\frac{3\cdot0,7}{7}-\tan(0,4)\approx0,3000-0,4228=-0,1228,
f'(0,7)=0,4286-2\operatorname{sec}^2(0,4)\approx0,4286-2,3560=-1,9274,
x_1=0,7-\frac{-0,1228}{-1,9274}\approx0,6363.
Para x_1=0,6363:
f(0,6363)\approx-0,0070,\quad f'(0,6363)\approx-1,7280,
x_2=0,6363-\frac{-0,0070}{-1,7280}\approx0,6323.

Passo 4

Prosseguindo até satisfazer \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-6}, temos:
Para x_2=0,6323 obtém-se x_3\approx0,63191,
para x_3\approx0,63191 obtém-se x_4\approx0,631852,
e em seguida
\bigl\lvert x_4-x_3\bigr\rvert\approx5{,}8\times10^{-5},\quad \lvert x_5-x_4\rvert<10^{-6}.
Logo a iteração converge em torno de x\approx0,631852.

Passo 5

Como a diferença entre duas iterações sucessivas ficou abaixo de \epsilon=10^{-6}, aceitamos
x\approx0,631852
como a menor raiz positiva convergida pelo método de Newton–Raphson.

Resposta

A menor raiz positiva é aproximadamente 0,631852.

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