[09] Use o método da Bissecção para obter pelo menos uma raiz das equações a seguir com precisão \epsilon=10^{-7}.
20 x^{3}-8 x-1=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, pelo método da Bissecção, uma raiz da equação
20x^{3} - 8x - 1 = 0
com precisão \epsilon = 10^{-7}.
Conteúdo: Teorema do valor intermediário e método da bissecção para localização de raízes.

Passo 2

Definimos
f(x) = 20x^{3} - 8x - 1.
Buscamos um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0.
Calculamos
f(0) = -1 < 0, \quad f(1) = 20 - 8 - 1 = 11 > 0.
Logo, em [0,1] há pelo menos uma raiz.

Passo 3

O método da bissecção procede assim:
– Calcular o ponto médio
c = \frac{a + b}{2}.
– Avaliar f\text{(c)}.
– Se f(a)\,f\text{(c)} < 0, então a raiz está em [a,c], e substituímos b \leftarrow c.
Caso contrário, a raiz está em [c,b], e fazemos a \leftarrow c.
– Repetir até que o tamanho do intervalo satisfaça
b - a < \epsilon.

Passo 4

Para estimar o número mínimo de iterações N, usamos o fato de que a cada passo o intervalo é reduzido à metade:
\frac{b-a}{2^{N}} < \epsilon \quad\Longrightarrow\quad N > \log_{2}\!\biggl(\frac{b-a}{\epsilon}\biggr) = \log_{2}\!\bigl(\tfrac{1}{10^{-7}}\bigr) \approx 23{,}25.
Assim, com N = 24 iterações garantimos \,b-a<10^{-7}.
Aplicando 24 iterações obtemos um intervalo final
[a_{24},\,b_{24}] \approx [0{,}24583968,\;0{,}24583981],
cujo comprimento é menor que 10^{-7}.

Passo 5

Como aproximação da raiz podemos escolher o ponto médio final
x \approx \frac{a_{24} + b_{24}}{2} \approx 0{,}24583975.

Resposta

A raiz aproximada é
x \approx 0{,}24583975
com precisão 10^{-7}.

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