Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão \epsilon=10^{-6}.
x^{6}-4.7=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a menor raiz positiva da equação
x^6 - 4.7 = 0
usando o método de Newton-Raphson com precisão \epsilon = 10^{-6}.

Passo 2

Definimos
f(x) = x^6 - 4.7, \quad f'(x) = 6\,x^5,
e usamos a iteração de Newton:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Como f(1) = 1 - 4.7 = -3.7 < 0 e f(2) = 64 - 4.7 = 59.3 > 0, escolhemos x_0 = 1.

Passo 3

Aplicando a fórmula, obtemos
x_1 = 1 - \frac{1^6 - 4.7}{6 \cdot 1^5} = 1 + \frac{3.7}{6} \approx 1,616667,
x_2 = 1,616667 - \frac{1,616667^6 - 4.7}{6 \cdot 1,616667^5} \approx 1,417801.

Passo 4

Continuando,
x_3 = 1,417801 - \frac{1,417801^6 - 4.7}{6 \cdot 1,417801^5} \approx 1,318368,
x_4 = 1,318368 - \frac{1,318368^6 - 4.7}{6 \cdot 1,318368^5} \approx 1,294868.

Passo 5

Mais duas iterações finais:
x_5 = 1,294868 - \frac{1,294868^6 - 4.7}{6 \cdot 1,294868^5} \approx 1,294732,
x_6 = 1,294732 - \frac{1,294732^6 - 4.7}{6 \cdot 1,294732^5} \approx 1,2947322.
Como
\lvert x_6 - x_5\rvert \approx 1,4\times10^{-7} < \epsilon,
atingimos a precisão desejada.

Resposta

A menor raiz positiva é aproximadamente 1,294732.

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