3.37 A Levi Strauss tem parte dos seus jeans lavados (stone-washed) sob contrato com uma U.S. Garment Corp. independente. Se o custo operacional por máquina da U.S. Garment é de \ 22.000 ao ano, durante os anos 1 e 2 , e depois se eleva em$1.000 ao ano até o ano 5 , qual é o custo anual uniforme equivalente por máquina (anos 1 a 5 ), a uma taxa de juros deééá12 %$ ao ano?

Passo 1

O enunciado pede: calcular o custo anual uniforme equivalente por máquina, para os anos 1 a 5, à taxa de juros de 12\% ao ano, dado o custo operacional anual que varia com o tempo.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
  • Custo no ano 1: \$22.000.
  • Custo no ano 2: \$22.000.
  • Depois eleva \$1.000 por ano até o ano 5, logo:
    • Ano 3: \$23.000.
    • Ano 4: \$24.000.
    • Ano 5: \$25.000.
  • Taxa de juros: i=12\% ao ano.
  • Intervalo para o equivalente uniforme: anos 1 a 5 (n = 5).
O que precisamos fornecer: um valor único anual A (mesmo valor todos os anos 1–5) que seja equivalente, à taxa de 12\%, aos custos efetivos listados.

Passo 2

Estratégia que vou usar (simples e direta): transformar todos os pagamentos variáveis em um valor presente acumulado no tempo zero (present value, PV), descontando cada pagamento à taxa dada; em seguida converter esse PV numa anuidade uniforme equivalente A usando o fator de recuperação de capital (capital recovery factor). Esta abordagem é direta para séries arbitrárias de pagamentos e é a que uso porque é fácil de aplicar passo a passo na prova sem fórmulas complexas.
Rápida lembrança conceitual antes das fórmulas:
  • Dinheiro no futuro vale menos hoje; para trazer um pagamento futuro F ao presente usa-se o fator de desconto (1+i)^{-t}.
  • Uma série de pagamentos variados tem PV igual à soma dos valores presentes de cada pagamento.
  • Um PV pode ser convertido numa série uniforme anual A por meio do fator que transforma PV em anuidade.

Passo 3

Fórmula do valor presente de um pagamento único:
PV_t=\dfrac{F_t}{(1+i)^t},
onde F_t é o pagamento no ano t, i é a taxa de juros e PV_t é o valor presente desse pagamento no tempo zero.
Vou calcular (1+i)^t para i=0,12:
(1+i)^1=1,12, \qquad (1+i)^2=1,2544,
(1+i)^3=1,404928, \qquad (1+i)^4=1,57351936, \qquad (1+i)^5=1,7635416832.
Agora trago cada custo ao valor presente:
  • Ano 1: F_1=\$22.000,
PV_1=\dfrac{\$22.000}{1,12}=\$19.642,86.
  • Ano 2: F_2=\$22.000,
PV_2=\dfrac{\$22.000}{1,2544}=\$17.544,52.
  • Ano 3: F_3=\$23.000,
PV_3=\dfrac{\$23.000}{1,404928}=\$16.371,98.
  • Ano 4: F_4=\$24.000,
PV_4=\dfrac{\$24.000}{1,57351936}=\$15.256,40.
  • Ano 5: F_5=\$25.000,
PV_5=\dfrac{\$25.000}{1,7635416832}=\$14.171,05.
Observação metodológica: na prova, se quiser ganhar tempo, dá para separar a série em uma anuidade base mais um gradiente; aqui optei por descontar item a item para ficar claro e evitar erros de deslocamento do gradiente.

Passo 4

Somando os valores presentes para obter o PV total:
PV = PV_1+PV_2+PV_3+PV_4+PV_5=\$19.642,86+\$17.544,52+\$16.371,98+\$15.256,40+\$14.171,05=\$82.986,81.
Explanação curta: esse \$82.986,81 é o valor hoje (tempo zero) que é equivalente a todos os pagamentos futuros listados, à taxa de 12\%.

Passo 5

Fórmula para converter o valor presente PV em uma anuidade uniforme A por n anos à taxa i (fator de recuperação de capital):
A = PV\cdot \dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.
Aqui n=5 e i=0,12. Explicando as variáveis: PV é o valor presente (já calculado), i é a taxa por período, n é o número de períodos; o quociente é o fator que transforma um valor presente em uma série uniforme anual.

Passo 6

Calcular o fator e a anuidade:
Primeiro o numerador e denominador do fator (usando (1+i)^5=1,7635416832):
\text{CRF}=\dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}=\dfrac{0,12\cdot 1,7635416832}{1,7635416832-1}=\dfrac{0,211624}{0,7635416832}=0,277066\\ (\text{aprox.}).
Agora:
A = PV\cdot \text{CRF}=\$82.986,81\cdot 0,277066=\$22.992,82\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: pagar \$22.992,82 por ano, durante os anos 1 a 5, é equivalente financeiramente (à taxa de 12\% ao ano) à sequência de pagamentos dada.

Resposta

\$22.992,82

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