3.37 A Levi Strauss tem parte dos seus jeans lavados (stone-washed) sob contrato com uma U.S. Garment Corp. independente. Se o custo operacional por máquina da U.S. Garment é de
22.000
$1.000
12 %$ ao ano?
Passo 1
O enunciado pede: calcular o custo anual uniforme equivalente por máquina, para os anos 1 a 5, à taxa de juros de
ao ano, dado o custo operacional anual que varia com o tempo.
Informações fornecidas (peguei estes números do enunciado):
- Custo no ano 1:
. - Custo no ano 2:
. - Depois eleva
por ano até o ano 5, logo: - Ano 3:
. - Ano 4:
. - Ano 5:
.
- Ano 3:
- Taxa de juros:
ao ano. - Intervalo para o equivalente uniforme: anos
a (n = 5).
O que precisamos fornecer: um valor único anual
(mesmo valor todos os anos 1–5) que seja equivalente, à taxa de
, aos custos efetivos listados.
Passo 2
Estratégia que vou usar (simples e direta): transformar todos os pagamentos variáveis em um valor presente acumulado no tempo zero (present value,
), descontando cada pagamento à taxa dada; em seguida converter esse
numa anuidade uniforme equivalente
usando o fator de recuperação de capital (capital recovery factor). Esta abordagem é direta para séries arbitrárias de pagamentos e é a que uso porque é fácil de aplicar passo a passo na prova sem fórmulas complexas.
Rápida lembrança conceitual antes das fórmulas:
- Dinheiro no futuro vale menos hoje; para trazer um pagamento futuro
ao presente usa-se o fator de desconto . - Uma série de pagamentos variados tem
igual à soma dos valores presentes de cada pagamento. - Um
pode ser convertido numa série uniforme anual por meio do fator que transforma em anuidade.
Passo 3
Fórmula do valor presente de um pagamento único:
onde
é o pagamento no ano
,
é a taxa de juros e
é o valor presente desse pagamento no tempo zero.
Vou calcular
para
:
Agora trago cada custo ao valor presente:
- Ano 1:
,
- Ano 2:
,
- Ano 3:
,
- Ano 4:
,
- Ano 5:
,
Observação metodológica: na prova, se quiser ganhar tempo, dá para separar a série em uma anuidade base mais um gradiente; aqui optei por descontar item a item para ficar claro e evitar erros de deslocamento do gradiente.
Passo 4
Somando os valores presentes para obter o
total:
Explanação curta: esse
é o valor hoje (tempo zero) que é equivalente a todos os pagamentos futuros listados, à taxa de
.
Passo 5
Fórmula para converter o valor presente
em uma anuidade uniforme
por
anos à taxa
(fator de recuperação de capital):
Aqui
e
. Explicando as variáveis:
é o valor presente (já calculado),
é a taxa por período,
é o número de períodos; o quociente é o fator que transforma um valor presente em uma série uniforme anual.
Passo 6
Calcular o fator e a anuidade:
Primeiro o numerador e denominador do fator (usando
):
Agora:
Interpretação: pagar
por ano, durante os anos 1 a 5, é equivalente financeiramente (à taxa de
ao ano) à sequência de pagamentos dada.