[1] Encontre um polinômio P(x) de grau no máximo 2 que satisfaça as condições:
P(-1)=-32, P(2)=1 e P(4)=3

Passo 1

Beleza, o que o enunciado quer é um polinômio P(-1) = -32, P(2)=1, P(4)=3 de grau até 2 (ou seja, no formato ) que passe pelos três pontos:
Matéria envolvida: polinômios (grau 2) e sistema linear. Vamos precisar montar um sistema de três equações para achar , e .

Passo 2

Primeiro, escolhemos a forma geral do polinômio de grau 2:
P(x) ;=; a,x^2 ;+; b,x ;+; c
Isso porque um polinômio de grau no máximo 2 tem exatamente três coeficientes ( ).

Passo 3

Agora, a gente substitui cada condição do enunciado em P(-1)=acdot(-1)^2 + bcdot(-1) + c = a - b + c = -32 , gerando um sistema de 3 equações:
  1. Para P(2)=acdot2^2 + bcdot2 + c = 4a + 2b + c = 1 :
P(4)=acdot4^2 + bcdot4 + c = 16a + 4b + c = 3
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

A gente quer eliminar o (4a+2b+c) - (a - b + c) = 1 - (-32) ;Rightarrow; 3a + 3b = 33 ;Rightarrow; a + b = 11 para simplificar. Subtraindo a equação (1) da (2) e da (2) da (3):
  • (16a+4b+c) - (4a+2b+c) = 3 - 1 ;Rightarrow; 12a + 2b = 2 ;Rightarrow; 6a + b = 1 :
  • :

Passo 5

Agora temos o sistema simples em a + b = 11, 6a + b = 1 e (6a+b) - (a+b) = 1 - 11 ;Rightarrow; 5a = -10 ;Rightarrow; a = -2 :
Subtrai a primeira da segunda:
Então .

Passo 6

Pra achar -2 - 13 + c = -32 ;Rightarrow; c -15 = -32 ;Rightarrow; c = -17 , volta em qualquer equação original, por exemplo :

Resposta

O polinômio procurado é
boxedP(x) = -2x^2 + 13x - 17

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