Calcule o valor da derivada através do método das diferenças finitas para as seguintes funções. Varie entre os 3 diferentes métodos (passo adiante, passo atrás, diferença central) e utilize ao menos 3 valores de de para certificar de que o cálculo está correto.
f(x)=log 10(x^8) - Ponto x=10;

Passo 1

Beleza, a gente tem que aproximar a derivada de
f(x)=log10(x^8)
no ponto usando diferenças finitas: passo adiante, passo atrás e diferença central. Vamos precisar saber as fórmulas dessas aproximações e escolher uns três (por exemplo 0,1; 0,01; 0,001) pra ver como o valor converge.

Passo 2

Método do passo adiante (forward difference):
A fórmula é
f'(10)approx f(10+de
Como , a gente calcula para cada :
  • :

  • :

  • :

Passo 3

Método do passo atrás (backward difference):
f'(10)approx f(10)-f(10-de
  • :

  • :

  • :

Passo 4

Método da diferença central (central difference):
f'(10)approx f(10+de
  • :
    Numerador
  • :
    Numerador
  • :
    Numerador

Passo 5

A gente também sabe que a derivada exata é
f'(x)=ddxl(8log10xr)=8xln 10,
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f'(10)=810ln 10approx0,34743
Viu como todos os métodos vão se aproximando desse valor quando diminui?

Resposta

(confirmado pelos três métodos de diferenças finitas).

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