Dado o sistema de equações lineares:
ccc 3 X1+1.5 X2+4.75 X3 & =8 4.01 X1+X2+3 X3 & = & 7 X1+0.5 X2+-0.05 X3 & = & -1
Resolva o sistema pelo método de eliminação de Gauss com pivotamento total.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver o sistema
3X1 + 1.5X2 + 4.75X3 = 8, 4.01X1 + X2 + 3X3 = 7, X1 + 0.5X2 - 0.05X3 = -1
usando eliminação de Gauss com pivotamento total.
Conteúdo: álgebra linear (matriz aumentada, operações elementares, troca de linhas/colunas) e pivotamento total (a gente sempre escolhe o maior elemento em módulo pra servir de pivô). Vamos precisar:
  • Montar a matriz aumentada.
  • Identificar pivôs (maiores elementos na submatriz restante).
  • Trocar linhas e colunas, anotar permutação das variáveis.
  • Eliminar abaixo de cada pivô.
  • Substituir retroativamente.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada e achamos o maior valor absoluto em toda a parte de coeficientes:
[ccc|c 3 & 1.5 & 4.75 & 8 4.01 & 1 & 3 & 7 1 & 0.5 & -0.05& -1 ]
O maior em módulo é 4.75 (posição (1,3)). No pivotamento total a gente:
  1. troca a linha 1 com ela mesma (já está lá),
  2. troca a coluna 1 com a 3,
  3. registra que col 1 agora é a variável X3 e col 3 é X1.
    Fica então:
[ccc|c 4.75 & 1.5 & 3 & 8 3 & 1 & 4.01 & 7 -0.05& 0.5 & 1 & -1 ], (x1,x2,x3);to;(x3,x2,x1)

Passo 3

Agora eliminamos as entradas abaixo de a11=4.75.
  • Linha2 := Linha2 – (3/4.75)·Linha1
  • Linha3 := Linha3 – (–0.05/4.75)·Linha1
    Calculando, vem
[ccc|c 4.75 & 1.5 & 3 & 8 0 & 0.0526316 & 2.1152632 & 1.9473688 0 & 0.5157895 & 1.0315789 & -0.9157895 ]

Passo 4

Repetimos o pivotamento total na submatriz das linhas 2–3 e colunas 2–3. O maior em módulo ali é 2.1152632 (posição (2,3)). Então:
  1. trocamos coluna 2 com coluna 3,
  2. anotamos que agora a coluna 2 é x1 e a 3 é x2.
    Fica
[ccc|c 4.75 & 3 & 1.5 & 8 0 & 2.1152632 & 0.0526316 & 1.9473688 0 & 1.0315789 & 0.5157895 & -0.9157895 ], (x3,x2,x1);to;(x3,x1,x2)
Aí eliminamos abaixo de a22=2.1152632:
  • Linha3 := Linha3 – (1.0315789/2.1152632)·Linha2
    que dá
[ccc|c 4.75 & 3 & 1.5 & 8 0 & 2.1152632 & 0.0526316 & 1.9473688 0 & 0 & 0.4901015 & -1.8655395 ]

Passo 5

Agora é só substituição retroativa:
  1. Da linha 3:
0.4901015,y3 = -1.8655395Longrightarrow y3 = -3.8070175
2) Da linha 2:
$$2.1152632,y_2 + 0.0526316,y_3 = 1.9473688
\quad\Longrightarrow\quad y_2 = \frac{1.9473688 - 0.0526316\cdot(-3.8070175)}{2.1152632}
\approx 1.01535. 2.1152632,y2 + 0.0526316,y3 = 1.9473688 Longrightarrow y2 = 1.9473688 - 0.0526316cdot(-3.8070175)2.1152632 approx 1.015354.75,y_1 + 3,y_2 +1.5,y_3 = 8
\quad\Longrightarrow\quad y_1 = \frac{8 - 3(1.01535) -1.5(-3.8070175)}{4.75}
\approx 2.24511.$$
Lembrando a ordem atual das variáveis por causa das trocas de colunas:
4.75,y1 + 3,y2 +1.5,y3 = 8 Longrightarrow y1 = 8 - 3(1.01535) -1.5(-3.8070175)4.75 approx 2.24511.

Resposta

boxedx1 approx 1.01535, x2 approx -3.80702, x3 approx 2.24511

Exercícios relacionados