[1] Resolva os sistemas abaixo, com e sem pivoteamento, usando quatro algarismos significativos e arredondamento. Qual técnica forneceu os melhores resultados?
(a) l58.09 x1+1.003 x2=68.12 321.8 x1+5.550 x2=377.3
(b) l321.8 x1+5.550 x2=377.3 110.3 x1+5809 x2=6812

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois sistemas lineares usando Eliminação de Gauss com e sem pivotamento parcial, arredondando tudo para 4 algarismos significativos.
Conteúdo:
  • Método de Eliminação de Gauss
  • Pivotamento parcial (trocar linhas para usar o maior pivô)
  • Arredondamento a 4 dígitos significativos
    O que precisamos: calcular multiplicadores, zerar entradas abaixo do pivô, voltar-substituir e comparar resultados.

Passo 2

Sistema (a) sem pivotamento
58.09,x1 + 1.003,x2 = 68.12, 321.8,x1 + 5.550,x2 = 377.3
  1. Multiplicador para zerar m = 321.858.09approx5.540(4 sig dig) em eq.2:
a'22 = 5.550 - 5.540times1.003 = -0.00662, b'2 = 377.3 - 5.540times68.12 = -0.02480
  1. Atualiza coeficientes da linha 2:
x2 = -0.02480-0.00662 = 3.745, x1 = 68.12 - 1.003times3.74558.09 = 1.108
  1. Volta-substituição:

Passo 3

Sistema (a) com pivotamento parcial
Troca linha 1⇆2 (porque 321.8,x1 + 5.550,x2 = 377.3, 58.09,x1 + 1.003,x2 = 68.12 ):
a'22 = 1.003 - 0.1806times5.550 = 0.000693, b'2 = 68.12 - 0.1806times377.3 = -0.02038
  1. x2 = -0.020380.000693 = -29.43, x1 = 377.3 - 5.550times(-29.43)321.8 = 1.681
Note como deu um resultado louco ( ) por cancelamento numérico.

Passo 4

Sistema (b) sem pivotamento
321.8,x1 + 5.550,x2 = 377.3, 110.3,x1 + 5809,x2 = 6812
  1. a'22 = 5809 - 0.3429times5.550 = 5807, b'2 = 6812 - 0.3429times377.3 = 6682
x2 = 66825807 = 1.151, x1 = 377.3 - 5.550times1.151321.8 = 1.153

Passo 5

Sistema (b) com pivotamento parcial
O pivô de x1 = 1.153, x2 = 1.151 já é maior que , então não trocamos linhas. Os cálculos ficam exatamente iguais ao passo anterior, dando

Passo 6

Comparando:
  • No sistema (a), o pivotamento produziu cancelamento e um valor absurdo de .
  • No sistema (b), daria igual com ou sem pivot.
Logo, sem pivotamento foi a técnica que deu resultados mais razoáveis neste exemplo (especialmente no sistema (a)).

Resposta

Sistema (a) sem pivot:
Sistema (a) com pivot:
Sistema (b) (com ou sem pivot):
Melhor técnica: eliminação de Gauss sem pivotamento parcial.

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