Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o vetor posição r(t) no valor determinado de t.
r(t)=(sec (t), tg(t), 43 t) ; t=pi6

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede duas coisas:
  1. A reta tangente à curva dada por
r(t) = l(sec t,;tan t,;tfrac43tr)
no ponto em que .
2) O vetor posição .
Conteúdo envolvido: funções trigonométricas, derivada de função vetorial e construção da reta tangente (usando ponto e vetor diretor).

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor posição no ponto dado, ou seja,
rl(tfracpi6r) = l(sectfracpi6,;tantfracpi6,;tfrac43,tfracpi6r)
Lembra que
rl(tfracpi6r) = l(tfrac2raiz33,;tfracraiz33,;tfrac2pi9r) , então
.
E .
Por fim

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Passo 3

Agora precisamos do vetor velocidade (derivada)
r'(t) = l(sec ttan t,;sec^2 t,;tfrac43r)
Isso vem de:
  • sec ttan t|t=pi/6 = tfrac2raiz33cdottfracraiz33 = tfrac2cdot39 = tfrac23, ,
  • sec^2 t|t=pi/6 = l(tfrac2raiz33r)^2 = tfrac4cdot39 = tfrac43 ,
  • r'l(tfracpi6r) = l(tfrac23,;tfrac43,;tfrac43r) .
Em :
e , então
E o terceiro componente já é constante .
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Passo 4

A reta tangente, em forma vetorial paramétrica, é
ell(s) = rl(tfracpi6r) + s,r'l(tfracpi6r)
Substituindo os valores que achamos:
ell(s) = l(tfrac2raiz33,;tfracraiz33,;tfrac2pi9r) + s;l(tfrac23,;tfrac43,;tfrac43r)

Resposta

Vetor posição no ponto rl(tfracpi6r) = l(tfrac2raiz33,;tfracraiz33,;tfrac2pi9r) :
ell(s) = l(tfrac2raiz33,;tfracraiz33,;tfrac2pi9r) + s;l(tfrac23,;tfrac43,;tfrac43r)
Equação da reta tangente (parâmetros ):

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