Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado t. Encontre também o vetor posição r(t) no valor determinado de t.
r(t)=(2 cos (t), 3 sen(t), 4 t) ; t=pi2

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede:
Você tem uma curva parametrizada por
e precisa, no ponto em que r(t) = l(2cos t,;3sen t,;4tr) :
  1. Encontrar o vetor posição .
  2. Encontrar a reta tangente a essa curva nesse ponto.
O conteúdo aqui é cálculo de funções vetoriais: a gente vai usar derivada de cada componente pra achar a direção da reta tangente e depois montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, calcula o vetor posição no ponto r(t) = l(2cos t,;3sen t,;4tr) .
Isso é simples: basta substituir rl(tfracpi2r) = (0,;3,;2pi) em cada componente de
– Componente : .
– Componente : .
– Componente : .
Logo,

Passo 3

Agora precisamos da reta tangente. A reta tangente à curva num ponto tem direção dada pela derivada r(t) = l(2cos t,;3sen t,;4tr) ;Longrightarrow; r'(t) = l(-2sen t,;3cos t,;4r) naquele r'l(tfracpi2r) = (-2,;0,;4) .
Derivada de componente a componente:
Avalia em :
.
.
– A componente é constante .
Então
Esse vetor é a direção da reta tangente.

Passo 4

Para escrever a equação vetorial da reta tangente, usamos a forma
ell(u) = underbracerl(tfracpi2r)ponto ;+; u;underbracer'l(tfracpi2r)direção çã
Substituindo:
ell(u) = (0,3,2pi) ;+; u,(-2,0,4)
Ou, em componentes,
x(u) = 0 - 2u = -2u, y(u) = 3 + 0cdot u = 3, z(u) = 2pi + 4u

Resposta

Vetor posição em rl(tfracpi2r) = (0, 3, 2pi) :
ell(u) = (0,3,2pi) + u,(-2,0,4)
Equação da reta tangente (vetorial):

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