• 10 Às 8 horas da manhã uma amostra de iogurte continha 10 mil bactérias. Meia-hora depois, o número de bactérias presentes nesta amostra quadruplicou. Supondo que essa taxa de crescimento se mantenha, quantas bactérias existiam na amostra às 9 horas? E às 8 horas e 15 minutos? E às 8 horas e 10 minutos? E após t horas?

Passo 1

O enunciado diz que às 8 h temos N(0)=10000 bactérias e que meia-hora depois ( t=0,5 h) esse número quadruplicou. Vamos modelar isso por uma função exponencial
N(t)=N(0)\,a^{\,t},
onde t está em horas desde as 8 h e a é a base de crescimento.

Passo 2

Usando o dado de que em t=0,5 h a população quadruplica,
N(0,5)=10000\,a^{0,5}=4\cdot10000=40000
\implies a^{0,5}=4 \quad\implies\quad a=4^{2}=16.

Passo 3

Logo a função que descreve o número de bactérias em função de t é
N(t)=10000\cdot16^{\,t}.

Passo 4

Substituindo nos instantes pedidos:
Para t=1 h (ou seja, às 9 h):
N(1)=10000\cdot16^{1}=160000.
Para t=0,25 h (15 min após as 8 h):
N\bigl(0,25\bigr)=10000\cdot16^{0,25}=10000\cdot2=20000.
Para t=\tfrac{1}{6} h (10 min após as 8 h):
N\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr)=10000\cdot16^{\tfrac{1}{6}} =10000\cdot2^{\tfrac{2}{3}}\approx15874.

Resposta

Às 9 h: 160000 bactérias.
Às 8 h 15 min: 20000 bactérias.
Às 8 h 10 min: 10000\cdot16^{1/6}\approx15874 bactérias.
Após t horas: N(t)=10000\cdot16^{t}.

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