11 A função f não é definida para x=0, mas para todos os números reais não nulos x,
f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x
(a) Determine f(1).
(b) Determine f(2).
(c) Determine f(x).

Passo 1

O enunciado diz que para todo x\neq0 vale
f(x)+2\,f\bigl(\tfrac1x\bigr)=3x,
e pede (a) f(1), (b) f(2) e (c) a expressão geral de f(x). Vamos usar a técnica de substituir x por \tfrac1x para obter um sistema de duas equações e daí resolver para f(x).

Passo 2

Substituindo x por \tfrac1x na equação original temos
f\bigl(\tfrac1x\bigr)+2\,f(x)=\frac3x.
Assim obtemos o sistema
\begin{cases} f(x)+2\,f\bigl(\tfrac1x\bigr)=3x,\\[6pt] 2\,f(x)+f\bigl(\tfrac1x\bigr)=\tfrac3x. \end{cases}]

Passo 3

Para isolar f(x), multiplico a segunda equação por 2 e subtraio a primeira:
\begin{aligned} 4\,f(x)+2\,f\bigl(\tfrac1x\bigr)&=\frac6x,\\\ f(x)+2\,f\bigl(\tfrac1x\bigr)&=3x,\\hline 3\,f(x)&=\frac6x-3x=\frac{6-3x^2}{x}, \end{aligned}
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f(x)=\frac{6-3x^2}{3x}=\frac{2-x^2}{x}.

Passo 4

Agora basta usar f(x)=\tfrac{2-x^2}{x}:
f(1)=\frac{2-1^2}{1}=1.

Passo 5

f(2)=\frac{2-2^2}{2}=\frac{2-4}{2}=-1.

Resposta

(a) f(1)=1
(b) f(2)=-1
(c) \displaystyle f(x)=\frac{2-x^2}{x}

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