O7 Seja
uma função tal que
quaisquer que sejam os números reais
e
.
(a) Prove que
é injetora.
(b) Prove que f é sobrejetora.
(a) Prove que
(b) Prove que f é sobrejetora.
Passo 1
O enunciado dá uma função
tal que
e, para todos
,
O conteúdo aqui é equações funcionais e, em particular, vamos mostrar que
é injetora e sobrejetora usando propriedades que derivamos dessa relação.
Passo 2
Colocando
na equação funcional, obtemos
ou seja,
Passo 3
Para provar que
é injetora, suponha que existam
tais que
. Aplicando
em ambos os lados e usando
, vem
Logo
, e
é injetora.
Passo 4
Para provar que
é sobrejetora, dado qualquer
basta notar que
Isso mostra que todo
é imagem de
, ou seja,
atinge todo valor real.
Resposta
(a)
é injetora.
(b) é sobrejetora.
(b)