O7 Seja \mathrm{f}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função tal que \mathrm{f}(0)=0 \mathrm{e}
f(x+f(y))=f(x)+y
quaisquer que sejam os números reais x e y.
(a) Prove que f é injetora.
(b) Prove que f é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tal que f(0)=0 e, para todos x,y\in\mathbb{R},
f\bigl(x+f(y)\bigr)=f(x)+y.
O conteúdo aqui é equações funcionais e, em particular, vamos mostrar que f é injetora e sobrejetora usando propriedades que derivamos dessa relação.

Passo 2

Colocando x=0 na equação funcional, obtemos
f\bigl(0+f(y)\bigr)=f(0)+y
ou seja,
f\bigl(f(y)\bigr)=0+y=y.

Passo 3

Para provar que f é injetora, suponha que existam a,b tais que f(a)=f(b). Aplicando f em ambos os lados e usando f(f(y))=y, vem
a = f\bigl(f(a)\bigr) = f\bigl(f(b)\bigr) = b.
Logo a=b, e f é injetora.

Passo 4

Para provar que f é sobrejetora, dado qualquer y\in\mathbb{R} basta notar que
f\bigl(f(y)\bigr)=y.
Isso mostra que todo y é imagem de f(y), ou seja, f atinge todo valor real.

Resposta

(a) f é injetora.
(b) f é sobrejetora.

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