06 Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função definida por f(x)=a+b \operatorname{sen}(c x+d), sendo a, b, c e d números reais com b>0.
(a) Determine a imagem de f.
(b) Prove que f(x)=f\left(x+\frac{2 \pi}{c}\right) para todo número real x. Conclua que a função f é periódica.

Passo 1

O enunciado considera a função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=a + b\sin(cx+d),
onde a,b,c,d\in\mathbb{R} e b>0. Peça (a) quer a imagem de f; a peça (b) pede para mostrar que
f\Bigl(x+\frac{2\pi}{c}\Bigr)=f(x)
para todo x, concluindo que f é periódica.

Passo 2

Para achar a imagem de f, lembramos que \sin\theta varia em [-1,1]. Logo, para todo x,
-1 \le \sin(cx+d)\le 1
e, multiplicando por b>0,
-b \le b\sin(cx+d)\le b.
Somando a a cada membro,
a - b \le a + b\sin(cx+d)\le a + b,
isto é,
a - b \le f(x)\le a + b.
Além disso, existem valores de x tais que \sin(cx+d)=1 (por exemplo cx+d=\tfrac\pi2+2\pi k) e outros tais que \sin(cx+d)=-1 (por exemplo cx+d=\tfrac{3\pi}2+2\pi k), mostrando que os extremos a+b e a-b são efetivamente atingidos. Portanto, a imagem é
\mathrm{Im}(f) = [\,a - b,\;a + b\,].

Passo 3

Para a periodicidade, assumimos c\neq 0 (caso c=0, f é constante e logo periódica). Calculamos
f\Bigl(x+\frac{2\pi}{c}\Bigr) = a + b\,\sin\!\Bigl(c\Bigl(x+\tfrac{2\pi}{c}\Bigr)+d\Bigr) = a + b\,\sin\bigl(cx + 2\pi + d\bigr).
Como \sin(\theta+2\pi)=\sin\theta, segue
f\Bigl(x+\frac{2\pi}{c}\Bigr) = a + b\,\sin(cx+d) = f(x).

Passo 4

Pela definição, uma função f é periódica se existe T\neq 0 tal que f(x+T)=f(x) para todo x. Aqui encontramos T=\tfrac{2\pi}{c}, portanto f é periódica de período 2\pi/c.

Resposta

(a) \mathrm{Im}(f) = [\,a - b,\;a + b\,].\n(b) Tem-se \displaystyle f\bigl(x+2\pi/c\bigr)=f(x) para todo x, logo f é periódica com período 2\pi/c.

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