06 Seja
uma função definida por
, sendo
e
números reais com
.
(a) Determine a imagem de
.
(b) Prove que
para todo número real
. Conclua que a função f é periódica.
(a) Determine a imagem de
(b) Prove que
Passo 1
O enunciado considera a função
onde
e
. Peça (a) quer a imagem de
; a peça (b) pede para mostrar que
para todo
, concluindo que
é periódica.
Passo 2
Para achar a imagem de
, lembramos que
varia em
. Logo, para todo
,
e, multiplicando por
,
Somando
a cada membro,
isto é,
Além disso, existem valores de
tais que
(por exemplo
) e outros tais que
(por exemplo
), mostrando que os extremos
e
são efetivamente atingidos. Portanto, a imagem é
Passo 3
Para a periodicidade, assumimos
(caso
,
é constante e logo periódica). Calculamos
Como
, segue
Passo 4
Pela definição, uma função
é periódica se existe
tal que
para todo
. Aqui encontramos
, portanto
é periódica de período
.
Resposta
(a)
Tem-se
para todo
, logo
é periódica com período
.