O que o enunciado pede: converter o número (0,6)_{10} (ou seja, a parte fracionária decimal 0,6) para a base binária.
Informações dadas: o número a converter é exatamente (0,6)_{10}. Não há mais dados no enunciado.
Passo 2
Explicação do método que vamos usar (método da multiplicação por 2), passo a passo e por que funciona.
Ideia do método: para escrever um número x com 0\le x<1 em base 2 escrevemos
x=\sum_{k=1}^{\infty} b_k 2^{-k},
onde cada b_k é 0 ou 1. O algoritmo para obter os b_k é:
multiplicar x por 2;
o inteiro da multiplicação (parte inteira) é o próximo bit b_1;
a nova parte fracionária (a diferença entre o produto e a parte inteira) é o valor que substitui x e repete-se o processo para obter b_2,b_3,\dots.
Por que isso dá os bits: quando multiplicamos por 2 a parte fracionária desloca-se uma posição para a esquerda na base 2; a parte inteira obtida nessa multiplicação é exatamente o bit mais à esquerda da expansão binária.
Quando termina ou repete:
Se em algum passo a nova parte fracionária for 0, a expansão é finita (termina em zeros).
Se a parte fracionária for racional com denominador que não é potência de 2, a sequência de partes fracionárias (e, portanto, dos bits) vai eventualmente repetir — isto gera uma dízima periódica binária.
Exemplo rápido: (0,25)_{10}=0,01_2 porque 0,25\times2=0,5 (bit 0), 0,5\times2=1,0 (bit 1) e termina.
Passo 3
Aplicando o método a (0,6)_{10}. Vou mostrar cada multiplicação, a parte inteira (o bit) e a nova parte fracionária, exatamente como na tabela que você mostrou:
Começamos com x_1=0,6.
Multiplicação 1:
x_1\times 2 = 0,6\times 2 = 1,2.
A parte inteira é 1, logo b_1=1. A nova parte fracionária é x_2=0,2.
Multiplicação 2:
x_2\times 2 = 0,2\times 2 = 0,4.
A parte inteira é 0, logo b_2=0. A nova parte fracionária é x_3=0,4.
Multiplicação 3:
x_3\times 2 = 0,4\times 2 = 0,8.
A parte inteira é 0, logo b_3=0. A nova parte fracionária é x_4=0,8.
Multiplicação 4:
x_4\times 2 = 0,8\times 2 = 1,6.
A parte inteira é 1, logo b_4=1. A nova parte fracionária é x_5=0,6.
Observação importante: x_5=0,6 é exatamente igual ao x_1 inicial. Isso significa que a sequência de partes fracionárias (e portanto a sequência de bits) vai repetir a partir daqui com o mesmo ciclo.
Portanto os bits obtidos nesta sequência são, em ordem: b_1b_2b_3b_4 = 1\,0\,0\,1, e depois repete 1\,0\,0\,1,\;1\,0\,0\,1,\dots
Passo 4
Conclusão da forma da expansão binária: a expansão é periódica com período de quatro bits 1001. Em notação conveniente:
Logo a verificação confirma que (0,\overline{1001})_{2}=(0,6)_{10}.
Passo 6
Explicação intuitiva do porquê do período ser 4: 0,6 é racional com fração 3/5. Em bases 2 (ou em qualquer base), uma fração a/b tem expansão finita só quando b divide uma potência da base (aqui 2^k). Como 5 não é potência de 2, a expansão em base 2 é periódica. O comprimento do período corresponde à menor potência n tal que 2^n\equiv 1\pmod 5. Calculando rapidamente:
portanto a ordem de 2 módulo 5 é 4, daí o período de 4 bits.
Passo 7
Dica prática para prova: se o número decimal for uma fração simples a/b, convém primeiro escrever a/b em forma reduzida e olhar para b. Se b tem fatores além de 2, espere repetição. Para achar o período rapidamente pode-se usar multiplicações sucessivas do numerador por 2 módulo b — isso reproduz exatamente o processo das partes fracionárias e revela quando uma resta se repete.