f) (0,6)_{10} \rightarrow binário
Operação Resultado Bit
0,6 \times 2 1,2 \mathbf{1}
0,2 \times 2 0,4 \mathbf{0}
0,4 \times 2 0,8 \mathbf{0}
0,8 \times 2 1,6 \mathbf{1}
0,6 \times 2 1,2 \mathbf{1} \longleftarrow repete
(0,6)_{10}=(0,1001)_{2}=(0,100110011 \ldots)_{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: converter o número (0,6)_{10} (ou seja, a parte fracionária decimal 0,6) para a base binária.
Informações dadas: o número a converter é exatamente (0,6)_{10}. Não há mais dados no enunciado.

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (método da multiplicação por 2), passo a passo e por que funciona.
  • Ideia do método: para escrever um número x com 0\le x<1 em base 2 escrevemos
x=\sum_{k=1}^{\infty} b_k 2^{-k},
onde cada b_k é 0 ou 1. O algoritmo para obter os b_k é:
  1. multiplicar x por 2;
  2. o inteiro da multiplicação (parte inteira) é o próximo bit b_1;
  3. a nova parte fracionária (a diferença entre o produto e a parte inteira) é o valor que substitui x e repete-se o processo para obter b_2,b_3,\dots.
  • Por que isso dá os bits: quando multiplicamos por 2 a parte fracionária desloca-se uma posição para a esquerda na base 2; a parte inteira obtida nessa multiplicação é exatamente o bit mais à esquerda da expansão binária.
  • Quando termina ou repete:
    • Se em algum passo a nova parte fracionária for 0, a expansão é finita (termina em zeros).
    • Se a parte fracionária for racional com denominador que não é potência de 2, a sequência de partes fracionárias (e, portanto, dos bits) vai eventualmente repetir — isto gera uma dízima periódica binária.
    • Exemplo rápido: (0,25)_{10}=0,01_2 porque 0,25\times2=0,5 (bit 0), 0,5\times2=1,0 (bit 1) e termina.

Passo 3

Aplicando o método a (0,6)_{10}. Vou mostrar cada multiplicação, a parte inteira (o bit) e a nova parte fracionária, exatamente como na tabela que você mostrou:
  • Começamos com x_1=0,6.
  • Multiplicação 1:
    x_1\times 2 = 0,6\times 2 = 1,2.
    A parte inteira é 1, logo b_1=1. A nova parte fracionária é x_2=0,2.
  • Multiplicação 2:
    x_2\times 2 = 0,2\times 2 = 0,4.
    A parte inteira é 0, logo b_2=0. A nova parte fracionária é x_3=0,4.
  • Multiplicação 3:
    x_3\times 2 = 0,4\times 2 = 0,8.
    A parte inteira é 0, logo b_3=0. A nova parte fracionária é x_4=0,8.
  • Multiplicação 4:
    x_4\times 2 = 0,8\times 2 = 1,6.
    A parte inteira é 1, logo b_4=1. A nova parte fracionária é x_5=0,6.
  • Observação importante: x_5=0,6 é exatamente igual ao x_1 inicial. Isso significa que a sequência de partes fracionárias (e portanto a sequência de bits) vai repetir a partir daqui com o mesmo ciclo.
Portanto os bits obtidos nesta sequência são, em ordem: b_1b_2b_3b_4 = 1\,0\,0\,1, e depois repete 1\,0\,0\,1,\;1\,0\,0\,1,\dots

Passo 4

Conclusão da forma da expansão binária: a expansão é periódica com período de quatro bits 1001. Em notação conveniente:
(0,6)_{10} = (0,1001\,1001\,1001\ldots)_{2} = (0,\overline{1001})_{2}.

Passo 5

Verificação matemática (conversão de volta) para garantir que (0,\overline{1001})_{2} é realmente 0,6.
  • Seja o bloco repetido B=1001_2. O valor inteiro de B em decimal é
b = 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 0\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9.
O comprimento do bloco é n=4.
  • O valor do número x=0.\overline{B}_2 é a soma geométrica dos blocos:
x=\frac{b}{2^n}+\frac{b}{2^{2n}}+\frac{b}{2^{3n}}+\cdots =\frac{b}{2^n}\cdot\frac{1}{1-2^{-n}} =\frac{b}{2^n}\cdot\frac{2^n}{2^n-1} =\frac{b}{2^n-1}.
  • Substituindo b=9 e n=4:
x=\frac{9}{2^4-1}=\frac{9}{16-1}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}=0,6.
Logo a verificação confirma que (0,\overline{1001})_{2}=(0,6)_{10}.

Passo 6

Explicação intuitiva do porquê do período ser 4: 0,6 é racional com fração 3/5. Em bases 2 (ou em qualquer base), uma fração a/b tem expansão finita só quando b divide uma potência da base (aqui 2^k). Como 5 não é potência de 2, a expansão em base 2 é periódica. O comprimento do período corresponde à menor potência n tal que 2^n\equiv 1\pmod 5. Calculando rapidamente:
2^1\equiv 2,\quad 2^2\equiv 4,\quad 2^3\equiv 8\equiv 3,\quad 2^4\equiv 16\equiv 1\pmod 5,
portanto a ordem de 2 módulo 5 é 4, daí o período de 4 bits.

Passo 7

Dica prática para prova: se o número decimal for uma fração simples a/b, convém primeiro escrever a/b em forma reduzida e olhar para b. Se b tem fatores além de 2, espere repetição. Para achar o período rapidamente pode-se usar multiplicações sucessivas do numerador por 2 módulo b — isso reproduz exatamente o processo das partes fracionárias e revela quando uma resta se repete.

Resposta

(0,6)_{10}=(0,\overline{1001})_{2}

Exercícios relacionados