1. Determine a raiz de \boldsymbol{f}(\mathbf{x})=\boldsymbol{\operatorname { l n }}(\mathbf{2 x}) - 1 pelo método da bissecção ou método da falsa posição com precisão c=|f(x)|=0,015 e intervalo inicial I=[1,3]. Identifique qual mérodo foi utilizado.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a raiz de f(x)=\ln(2x)-1 usando o método da bissecção ou o método da falsa posição, com precisão dada por c=|f(x)|=0,015, e com intervalo inicial I=[1,3]. Ou seja:
  • Função: f(x)=\ln(2x)-1.
  • Intervalo inicial: I=[1,3].
  • Critério de parada: encontrar x tal que |f(x)|\le 0,015.
  • Também é solicitado que seja identificada qual método foi utilizado (bissecção ou falsa posição).

Passo 2

Escolha do método. Vou usar o método da bissecção. Justificativa curta (didática): a bissecção é o método mais básico e robusto para achar raízes quando se tem um intervalo inicial com sinais opostos em suas extremidades — é simples de aplicar e garante convergência. Como o enunciado permitiu escolher entre bissecção ou falsa posição e não exigiu um método específico, escolhi bissecção por ser mais elementar e fácil de explicar passo a passo.

Passo 3

Breve explicação do método da bissecção (aula rápida, sem pular etapas).
  • Princípio: se f for contínua num intervalo [a,b] e f(a) e f(b) tiverem sinais opostos ( f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos uma raiz em (a,b) (Teorema do valor intermédio).
  • Passo da bissecção: calcula-se o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}. Avalia-se f(m). Se f(m)=0 (ou |f(m)| já satisfaz a tolerância), então m é a raiz. Caso contrário, verifica-se o sinal de f(m):
    • se f(a)\cdot f(m)<0, a raiz está em [a,m], então toma-se b\leftarrow m;
    • se f(m)\cdot f(b)<0, a raiz está em [m,b], então toma-se a\leftarrow m.
  • Repetir até que |f(m)|\le 0,015 (critério pedido aqui). Observação: normalmente bissecção usa também largura do intervalo como critério, mas o enunciado pediu precisão em termos de |f(x)|, então usaremos esse critério.

Passo 4

Verificar a hipótese inicial de existência de raiz no intervalo I=[1,3].
  • Calcular f(1): f(1)=\ln(2\cdot1)-1=\ln 2 -1\approx 0,693147-1 = -0,306853.
  • Calcular f(3): f(3)=\ln(2\cdot3)-1=\ln 6 -1\approx 1,791759-1 = 0,791759.
Como f(1)\approx -0,306853<0 e f(3)\approx 0,791759>0, há mudança de sinal e portanto existe pelo menos uma raiz em (1,3). Podemos aplicar a bissecção.

Passo 5

Iteração 1 da bissecção:
  • Ponto médio: m_1=\dfrac{1+3}{2}=2.
  • Avaliar f(2): f(2)=\ln(2\cdot2)-1=\ln 4 -1.Como \ln 2\approx 0,693147, tem-se \ln 4=2\ln 2\approx 1,386294. Assim f(2)\approx 1,386294-1=0,386294.
  • Sinal: f(1)<0 e f(2)>0, então a raiz está em [1,2]. Atualizamos o intervalo para [a,b]=[1,2].

Passo 6

Iteração 2 da bissecção:
  • Ponto médio: m_2=\dfrac{1+2}{2}=1{,}5.
  • Avaliar f(1{,}5): f(1{,}5)=\ln(2\cdot1{,}5)-1=\ln 3 -1\approx 1,098612-1=0,098612.
  • Sinal: f(1)<0 e f(1{,}5)>0, então a raiz está em [1,1{,}5]. Atualizamos o intervalo para [a,b]=[1,1{,}5].
  • Verificação do critério: |f(1{,}5)|\approx 0,098612>0,015, então ainda não podemos parar.

Passo 7

Iteração 3 da bissecção:
  • Ponto médio: m_3=\dfrac{1+1{,}5}{2}=1{,}25.
  • Avaliar f(1{,}25): f(1{,}25)=\ln(2\cdot1{,}25)-1=\ln 2{,}5 -1.Usando \ln 2{,}5\approx 0,916291, f(1{,}25)\approx 0,916291-1=-0,083709.
  • Sinal: f(1{,}25)<0 e f(1{,}5)>0, logo a raiz está em [1{,}25,1{,}5]. Atualizamos o intervalo para [a,b]=[1{,}25,1{,}5].
  • Verificação do critério: |f(1{,}25)|\approx 0,083709>0,015, continue.

Passo 8

Iteração 4 da bissecção:
  • Ponto médio: m_4=\dfrac{1{,}25+1{,}5}{2}=1{,}375.
  • Avaliar f(1{,}375): f(1{,}375)=\ln(2\cdot1{,}375)-1=\ln 2{,}75 -1.Usando \ln 2{,}75\approx 1,011601, f(1{,}375)\approx 1,011601-1=0,011601.
  • Verificação do critério: |f(1{,}375)|\approx 0,011601 \le 0,015. Portanto a aproximação x\approx 1{,}375 satisfaz a precisão pedida e podemos parar.

Passo 9

Interpretação final e observações rápidas:
  • Encontramos uma aproximação da raiz x com |f(x)|\le 0,015 em x=1{,}375.
  • O método utilizado foi o método da bissecção, que garantiu a convergência porque f é contínua em [1,3] e havia mudança de sinal nas extremidades.

Resposta

x\approx 1{,}375
Método utilizado: método da bissecção.

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