-
- Determine a raiz de
- 1 pelo método da bissecção ou método da falsa posição com precisão
e intervalo inicial
. Identifique qual mérodo foi utilizado.
- Determine a raiz de
- 1 pelo método da bissecção ou método da falsa posição com precisão e intervalo inicial . Identifique qual mérodo foi utilizado.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a raiz de
usando o método da bissecção ou o método da falsa posição, com precisão dada por
, e com intervalo inicial
. Ou seja:
- Função:
. - Intervalo inicial:
. - Critério de parada: encontrar
tal que . - Também é solicitado que seja identificada qual método foi utilizado (bissecção ou falsa posição).
Passo 2
Escolha do método. Vou usar o método da bissecção. Justificativa curta (didática): a bissecção é o método mais básico e robusto para achar raízes quando se tem um intervalo inicial com sinais opostos em suas extremidades — é simples de aplicar e garante convergência. Como o enunciado permitiu escolher entre bissecção ou falsa posição e não exigiu um método específico, escolhi bissecção por ser mais elementar e fácil de explicar passo a passo.
Passo 3
Breve explicação do método da bissecção (aula rápida, sem pular etapas).
- Princípio: se
for contínua num intervalo e e tiverem sinais opostos ( ), então existe pelo menos uma raiz em (Teorema do valor intermédio). - Passo da bissecção: calcula-se o ponto médio
. Avalia-se . Se (ou já satisfaz a tolerância), então é a raiz. Caso contrário, verifica-se o sinal de : - se
, a raiz está em , então toma-se ; - se
, a raiz está em , então toma-se .
- se
- Repetir até que
(critério pedido aqui). Observação: normalmente bissecção usa também largura do intervalo como critério, mas o enunciado pediu precisão em termos de , então usaremos esse critério.
Passo 4
Verificar a hipótese inicial de existência de raiz no intervalo
.
- Calcular
: - Calcular
:
Como
e
, há mudança de sinal e portanto existe pelo menos uma raiz em
. Podemos aplicar a bissecção.
Passo 5
Iteração 1 da bissecção:
- Ponto médio:
. - Avaliar
: Como , tem-se . Assim - Sinal:
e , então a raiz está em . Atualizamos o intervalo para .
Passo 6
Iteração 2 da bissecção:
- Ponto médio:
. - Avaliar
: - Sinal:
e , então a raiz está em . Atualizamos o intervalo para . - Verificação do critério:
, então ainda não podemos parar.
Passo 7
Iteração 3 da bissecção:
- Ponto médio:
. - Avaliar
: Usando , - Sinal:
e , logo a raiz está em . Atualizamos o intervalo para . - Verificação do critério:
, continue.
Passo 8
Iteração 4 da bissecção:
- Ponto médio:
. - Avaliar
: Usando , - Verificação do critério:
. Portanto a aproximação satisfaz a precisão pedida e podemos parar.
Passo 9
Interpretação final e observações rápidas:
- Encontramos uma aproximação da raiz
com em . - O método utilizado foi o método da bissecção, que garantiu a convergência porque
é contínua em e havia mudança de sinal nas extremidades.
Resposta
Método utilizado: método da bissecção.