Para cada um dos itens a seguir, faça o que se pede.
(b)
- Parte inteira:
- Parte fracionária:
- Resultado:
-
-
: Mantissa: 1110000000
(b)
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Número em base decimal:
. - Queremos escrever esse número em base binária e apresentá‑lo como uma mantissa com
bits seguida de uma potência de (forma normalizada utilizada no enunciado).
O objetivo final: obter a representação no formato indicado, com a mantissa com exatamente 10 bits.
Passo 2
Converter a parte inteira
para binário (método das divisões sucessivas).
Explicação do método: divide‑se o número por , anota‑se o resto (0 ou 1), continua‑se com o quociente até chegar em zero; os restos lidos de baixo para cima formam o número binário.
Aplicando:
Explicação do método: divide‑se o número por
Aplicando:
-
quociente, resto . -
quociente, resto .
Lendo os restos de baixo para cima obtemos.
Portanto a parte inteira em binário é.
Passo 3
Converter a parte fracionária
para binário (método das multiplicações sucessivas por
).
Explicação do método: multiplica‑se a parte fracionária por ; a parte inteira do resultado (0 ou 1) é o próximo dígito binário da fração; repete‑se com a nova parte fracionária até terminar ou detectar repetição.
Aplicando:
Explicação do método: multiplica‑se a parte fracionária por
Aplicando:
-
. A parte inteira é e a nova parte fracionária é (terminou).
Logo.
Portanto a parte fracionária em binário é.
Passo 4
Combinar as duas partes para obter a representação binária completa do número.
Juntando (inteiro) e
(fracção) obtemos
Juntando
Interpretação rápida:
significa
.
Passo 5
Normalizar a representação em forma de mantissa × potência de
.
Explicação da normalização: existem duas formas equivalentes possíveis dependendo da convenção (mantissa começando por ou começando por
com expoente ajustado). A forma usual de ponto flutuante normalizado é
, mas o enunciado apresentou a resposta na forma
. Vou mostrar as duas e explicar a equivalência.
Explicação da normalização: existem duas formas equivalentes possíveis dependendo da convenção (mantissa começando por
- Primeira forma (mais comum): deslocar o ponto de
para obter . Isso é um deslocamento de uma posição à esquerda, então o expoente será :
- Outra forma equivalente (a do enunciado): deslocar mais uma posição para obter
. Ao deslocar mais uma posição à esquerda (dois deslocamentos desde a forma original), o expoente aumenta de modo a compensar; para ir de a multiplicamos por :
Verificação rápida de equivalência:
e
. Está correto.
Observação: escolhi usar a forma
porque é a forma pedida pelo enunciado final mostrado (mantissa iniciando em
seguida dos bits desejados e expoente
).
Passo 6
Construir a mantissa com
bits.
A mantissa, no enunciado, é a parte após o ponto em . Os bits atuais após a vírgula são
.
Como precisamos de exatamente bits, completamos com zeros à direita (porque a representação exata termina aí; não há dígitos adicionais necessários nem arredondamento).
Assim a mantissa com 10 bits fica:
A mantissa, no enunciado, é a parte após o ponto em
Como precisamos de exatamente
Assim a mantissa com 10 bits fica:
Explicação: os três primeiros bits vêm de
e os sete bits seguintes são zeros para preencher até 10 bits.
Passo 7
Escrever a representação final no formato pedido, juntando a mantissa de 10 bits e o expoente.
Portanto
Portanto
Aqui a mantissa tem exatamente 10 bits e o expoente é
, conforme mostrado.