Determine uma aproximação da raiz da equação abaixo utilizando o Método de Newton-Raphson com erro máximo de 0,001.
2 x-\mid \operatorname{sen}(x)-4=0
Considere:
  • Aproximação inicial:
x_{0}=3
  • Tolerância do erro:
\varepsilon=0,001
Fórmula do Método de Newton-Raphson
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}

Passo 1

O enunciado pede uma aproximação da raiz da equação
2x-\sin(x)-4=0
usando o Método de Newton-Raphson com aproximação inicial
x_{0}=3
e tolerância do erro
\varepsilon=0,001.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • Equação a resolver: \;2x-\sin(x)-4=0.
  • Aprox. inicial: \;x_{0}=3.
  • Critério de parada pedido: erro máximo \varepsilon=0,001 (usarei como critério de convergência a condição \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<\varepsilon).
  • Resultado pedido: uma aproximação da raiz que satisfaça o critério acima.

Passo 2

Breve explicação do Método de Newton-Raphson (intuição e fórmula).
  • Idéia: a cada iteração aproxima-se a curva por uma reta tangente no ponto atual x_n e usa-se a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação x_{n+1}.
  • Fórmula do método:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui:
f(x)=2x-\sin(x)-4,
logo é necessário calcular f'(x). Explicando as variáveis:
  • f(x) é o valor da função no ponto x;
  • f'(x) é a derivada (inclinação) da função no ponto x;
  • a fração \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} é o deslocamento da iteração.

Passo 3

Calcular a derivada e confirmar o modo angular (radianos):
  • Derivada:
f'(x)=2-\cos(x).
Observação importante: trigonometria sempre em radianos neste problema (a entrada x_0=3 está em radianos).
Agora vamos iterar explicitamente a partir de \;x_0=3, mostrando as contas passo a passo.

Passo 4

Iteração 0 \to 1 (cálculos em x_0=3):
  • Calcular \sin(3) e \cos(3) (valores aproximados):
\sin(3)\approx 0,1411200081,\qquad \cos(3)\approx -0,9899924966.
  • Avaliar f e f' em x_0:
f(3)=2\cdot3-\sin(3)-4=6-0,1411200081-4\approx 1,8588799919,
f'(3)=2-\cos(3)=2-(-0,9899924966)\approx 2,9899924966.
  • Aplicar a fórmula de Newton:
x_{1}=3-\frac{1,8588799919}{2,9899924966}\approx 3-0,6219048031\approx 2,3780951969.

Passo 5

Iteração 1 \to 2 (cálculos em \;x_1\approx 2,3780951969):
  • Calcular \sin(x_1) e \cos(x_1). Como x_1=\pi-0,7634974567, usamos \sin(x_1)=\sin(0,7634974567) e \cos(x_1)=-\cos(0,7634974567); aproximações:
\sin(2,3780951969)\approx 0,6918989,\qquad \cos(2,3780951969)\approx -0,7220660.
  • Avaliar f e f' em x_1:
f(2,3780951969)=2\cdot2,3780951969-\sin(2,3780951969)-4 \approx 4,7561903938-0,6918989-4\approx 0,0642914938,
f'(2,3780951969)=2-\cos(2,3780951969)\approx 2-(-0,7220660)\approx 2,7220660.
  • Aplicar Newton:
x_{2}=2,3780951969-\frac{0,0642914938}{2,7220660}\approx 2,3780951969-0,0236297\approx 2,3544654969.

Passo 6

Iteração 2 \to 3 (cálculos em \;x_2\approx 2,3544654969):
  • Calcular \sin(x_2) e \cos(x_2). Note que x_2=\pi-0,7871271567, então
\sin(2,3544654969)\approx 0,7090003,\qquad \cos(2,3544654969)\approx -0,7051928.
  • Avaliar f e f' em x_2:
f(2,3544654969)=2\cdot2,3544654969-\sin(2,3544654969)-4 \approx 4,7089309938-0,7090003-4\approx -0,0000693062,
f'(2,3544654969)=2-\cos(2,3544654969)\approx 2-(-0,7051928)\approx 2,7051928.
  • Aplicar Newton:
x_{3}=2,3544654969-\frac{-0,0000693062}{2,7051928}\approx 2,3544654969+0,0000256\approx 2,3544910969.
  • Verificar critério de parada:
\lvert x_{3}-x_{2}\rvert\approx \lvert 2,3544910969-2,3544654969\rvert\approx 0,0000256<0,001.
Portanto o critério \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<\varepsilon é satisfeito e podemos parar.

Passo 7

Interpretação final e precisão:
  • A iteração convergiu em três passos ( x_0\to x_1\to x_2\to x_3).
  • A aproximação obtida que satisfaz erro máximo pedido é
x\approx 2,3544910969.
Arredondando conforme a tolerância \varepsilon=0,001, uma forma prática é usar três casas decimais: x\approx 2,354. Mas a aproximação mais precisa obtida foi x\approx 2,3544910969.

Resposta

\;x\approx 2,3544910969

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