Determine uma aproximação da raiz da equação abaixo utilizando o Método de Newton-Raphson com erro máximo de 0,001.
Considere:
- Aproximação inicial:
- Tolerância do erro:
Fórmula do Método de Newton-Raphson
Passo 1
O enunciado pede uma aproximação da raiz da equação
usando o Método de Newton-Raphson com aproximação inicial
e tolerância do erro
Informações fornecidas e o que é pedido:
- Equação a resolver:
- Aprox. inicial:
- Critério de parada pedido: erro máximo
(usarei como critério de convergência a condição ). - Resultado pedido: uma aproximação da raiz que satisfaça o critério acima.
Passo 2
Breve explicação do Método de Newton-Raphson (intuição e fórmula).
- Idéia: a cada iteração aproxima-se a curva por uma reta tangente no ponto atual
e usa-se a interseção dessa reta com o eixo como próxima aproximação . - Fórmula do método:
Aqui:
logo é necessário calcular
. Explicando as variáveis:
-
é o valor da função no ponto ; -
é a derivada (inclinação) da função no ponto ; - a fração
é o deslocamento da iteração.
Passo 3
Calcular a derivada e confirmar o modo angular (radianos):
- Derivada:
Observação importante: trigonometria sempre em radianos neste problema (a entrada
está em radianos).
Agora vamos iterar explicitamente a partir de
, mostrando as contas passo a passo.
Passo 4
Iteração 0
1 (cálculos em
):
- Calcular
e (valores aproximados):
- Avaliar
e em :
- Aplicar a fórmula de Newton:
Passo 5
Iteração 1
2 (cálculos em
):
- Calcular
e . Como , usamos e ; aproximações:
- Avaliar
e em :
- Aplicar Newton:
Passo 6
Iteração 2
3 (cálculos em
):
- Calcular
e . Note que , então
- Avaliar
e em :
- Aplicar Newton:
- Verificar critério de parada:
Portanto o critério
é satisfeito e podemos parar.
Passo 7
Interpretação final e precisão:
- A iteração convergiu em três passos (
). - A aproximação obtida que satisfaz erro máximo pedido é
Arredondando conforme a tolerância
, uma forma prática é usar três casas decimais:
. Mas a aproximação mais precisa obtida foi
.