10 Sejam os dois pontos (1,6) e (2,10).
(a) Encontre o polinômio interpolador L1 para os pontos dados.
(b) Encontre a reta de quadrados mínimos u(x)=b0+b1 x para os pontos dados.
(c) Explique porque L1(x)=u(x) neste caso.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos (1,6) e (2,10) e pede:
bul<=t O polinômio interpolador de grau <=1 (Lagrange) para esses pontos.
bul<=t A reta de mínimos quadrados u(x)=b0+b1x para os mesmos dados.
Conteúdos: interpolação polinomial linear e regressão linear simples.

Passo 2

Para o polinômio de Lagrange de grau 1 usamos as bases
ell1(x)=x-x2x1-x2=x-21-2=-(x-2), ell2(x)=x-x1x2-x1=x-12-1=x-1
Então
L1(x)=y1,ell1(x)+y2,ell2(x) =6l(-(x-2)r)+10(x-1)
Desenvolvendo:
L1(x)=6(-x+2)+10x-10=-6x+12+10x-10=4x+2

Passo 3

Para a reta de mínimos quadrados usamos as fórmulas
b1 =nsum xi yi - sum xisum yinsum xi^2 - (sum xi)^2, b0=bar y - b1bar x,
com n=2, sum xi=1+2=3, sum yi=6+10=16, sum xi yi=26, sum xi^2=5.
Logo
b1=2cdot26-3cdot162cdot5-3^2=52-4810-9=4,
bar x=32,bar y=162=8, b0=8-4cdot32=8-6=2
Portanto u(x)=2+4x.

Passo 4

Com apenas dois pontos, qualquer reta que ajuste em mínimos quadrados passa exatamente por eles (erro zero), logo coincide com o interpolador de grau 1. Daí L1(x)=u(x).

Resposta

(a) L1(x)=4x+2
(b) u(x)=2+4x
(c) Porque com dois pontos a reta de mínimos quadrados ajusta exatamente cada ponto, sendo o mesmo que o polinômio interpolador de grau 1.

Exercícios relacionados