Usando o método de Newton-Raphson, encontre uma fração que aproxima raiz2 com precisão 10^-3.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar raiz2 por uma fração usando o método de Newton–Raphson até que o erro seja menor que 10^-3. O conteúdo é encontrar raízes de f(x)=x^2-2 usando a iteração
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
onde f'(x)=2x.

Passo 2

Aplicando a fórmula geral à nossa função, temos
xn+1 = xn - xn^2-22xn = 2xn^2 - (xn^2-2)2xn = xn^2+22xn = xn + tfrac2xn2

Passo 3

Escolhemos o chute inicial ,x0=1. Então
x1 = 1 + tfrac212 = 32

Passo 4

Agora
x2 = tfrac32 + tfrac23/22 = tfrac32 + tfrac432 = tfrac1762 = 1712
O erro aproximado é
l|tfrac1712-raiz2r|approx2,45times10^-3>10^-3,
logo ainda não basta.

Passo 5

Calculamos mais uma iteração:
x3 = tfrac1712 + tfrac217/122 = tfrac1712 + tfrac24172 = 577408
O erro agora é
l|tfrac577408-raiz2r|approx2,1times10^-6<10^-3,
atendendo à precisão exigida.

Resposta

A fração
577408
aproxima raiz2 com precisão 10^-3.

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