9 Encontre as equações normais para o modelo u(x1, x2, x3)=b1 x1+b2 x2+b3 x3 que passa pela origem ( b0=0 ).

Passo 1

O enunciado pede as equações normais do modelo de regressão linear múltipla sem intercepto
u(x1,x2,x3) = b1x1 + b2x2 + b3x3,
ou seja, b0=0.
Conteúdo: mínimos quadrados na regressão linear. Vamos minimizar a soma dos quadrados dos resíduos e igualar as derivadas parciais em relação a b1,b2,b3 a zero.

Passo 2

Definimos o erro quadrático total (SSE) como
SSE(b1,b2,b3) =sumi=1^nl(yi-b1xi1-b2xi2-b3xi3r)^2
Para encontrar o mínimo, exigimos
partial SSEpartial bj=0, j=1,2,3

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
para b1:
partial SSEpartial b1 =-2sumi=1^nxi1l(yi-b1xi1-b2xi2-b3xi3r)=0,
e analogamente para b2 e b3.

Passo 4

Rearranjando cada equação, obtemos o sistema linear das equações normais:
sumi=1^n xi1 yi = b1 sumi=1^n xi1^2 + b2 sumi=1^n xi1 xi2 + b3 sumi=1^n xi1 xi3, [1em] sumi=1^n xi2 yi = b1 sumi=1^n xi1 xi2 + b2 sumi=1^n xi2^2 + b3 sumi=1^n xi2 xi3, [1em] sumi=1^n xi3 yi = b1 sumi=1^n xi1 xi3 + b2 sumi=1^n xi2 xi3 + b3 sumi=1^n xi3^2 ]

Resposta

sumi=1^n xi1 yi = b1 sumi=1^n xi1^2 + b2 sumi=1^n xi1 xi2 + b3 sumi=1^n xi1 xi3, [1em] sumi=1^n xi2 yi = b1 sumi=1^n xi1 xi2 + b2 sumi=1^n xi2^2 + b3 sumi=1^n xi2 xi3, [1em] sumi=1^n xi3 yi = b1 sumi=1^n xi1 xi3 + b2 sumi=1^n xi2 xi3 + b3 sumi=1^n xi3^2 ]

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