- 12 Seja
o conjunto dos números racionais e
uma função satisfazendo as duas condições seguintes:
(i)
(ii)
para todos
.
(a) Mostre que
.
(b) Prove que
, para todo
.
(c) Prove que
, para todo
.
(i)
(ii)
(a) Mostre que
(b) Prove que
(c) Prove que
Passo 1
O enunciado define uma função
tal que
(i)
(ii) para todos ,
(i)
(ii) para todos
Pede-se em (a) calcular
, em (b) mostrar que
para todo
e em (c) estender isso a
para todo
.
Passo 2
Para (a), basta usar
na condição (ii). Temos
e
, então
Como
, isso vira
Passo 3
Para (b), primeiro achamos
. Tomando
na condição (ii), vem
Como
, deve ser
, logo
.
Agora, para inteiros positivos, usamos indução. Já temos . Supondo
, tomamos
na (ii) com
:
Agora, para inteiros positivos, usamos indução. Já temos
Para inteiros negativos, primeiro
vem de
:
que coincide com
. Em seguida, supondo
, use
em
para obter
completando a indução descendente. Assim
para todo
.
Passo 4
Para (c), seja
com
,
. Use
na condição (ii) com
:
Sabendo que
,
e
, obtemos
Resposta
(a)
.
(b) para todo
.
(c) para todo
.
(b)
(c)