11 Seja A=\left(\begin{array}{lll}5 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right)
a) Verifique se A pode ser decomposta em G.G { }^{\mathrm{T}} (Cholesky).
b) Decomponha A em G.G { }^{T}.
c) Calcule o determinante de A.
d) Resolva o sistema A.x=b, em que b=\left(\begin{array}{r}-1 \\\\ 1 \\\\ 4\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}
e pede:
a) verificar se existe decomposição de Cholesky A=G\,G^{T},
b) encontrar G,
c) calcular \det(A),
d) resolver A x = b com
b = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 4\end{pmatrix}.
O conteúdo principal é decomposição de Cholesky e solução de sistemas triangulares.

Passo 2

Para existir a decomposição de Cholesky é preciso que A seja simétrica e definida positiva.
  1. A é simétrica por inspeção.
  2. Verificamos os menores principais:
    \det\bigl([5]\bigr)=5>0,
    \det\begin{pmatrix}5&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=5\cdot1-1\cdot1=4>0,
    \det(A) (calcularemos depois) será positivo.
    Logo A é definida positiva e a decomposição existe.

Passo 3

Vamos construir G triangular inferior com entradas g_{ij}:
  1. g_{11} = \sqrt{A_{11}} = \sqrt{5}.
  2. g_{21} = A_{21}/g_{11} = 1/\sqrt{5},\quad g_{31} = A_{31}/g_{11} = 2/\sqrt{5}.
  3. g_{22} = \sqrt{A_{22}-g_{21}^2} =\sqrt{1-\tfrac{1}{5}}=\sqrt{\tfrac{4}{5}}=\tfrac{2}{\sqrt{5}}.
  4. g_{32} = \bigl(A_{32}-g_{31}g_{21}\bigr)/g_{22} =\bigl(1-\tfrac{2}{\sqrt5}\cdot\tfrac{1}{\sqrt5}\bigr)\big/\tfrac{2}{\sqrt5} =\tfrac{3/5}{2/\sqrt5}=\tfrac{3\sqrt5}{10}.
  5. g_{33} = \sqrt{A_{33}-g_{31}^2-g_{32}^2} =\sqrt{3-\tfrac{4}{5}-\tfrac{9}{20}} =\sqrt{\tfrac{7}{4}}=\tfrac{\sqrt7}{2}.

Passo 4

Assim
G = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 & 0\\[6pt] \tfrac{1}{\sqrt{5}} & \tfrac{2}{\sqrt{5}} & 0\\[6pt] \tfrac{2}{\sqrt{5}} & \tfrac{3\sqrt{5}}{10} & \tfrac{\sqrt{7}}{2} \end{pmatrix},
verificando que A = G\,G^{T}.]

Passo 5

Como \det(A) = (\det G)^{2} e
\det G = g_{11}\,g_{22}\,g_{33} =\sqrt{5}\cdot\tfrac{2}{\sqrt{5}}\cdot\tfrac{\sqrt7}{2}=\sqrt7,
segue
\det(A) = (\sqrt7)^{2}=7.

Passo 6

Para resolver A x=b primeiro fazemos substituição progressiva em
G\,y = b.
Escrevendo as equações:
  1. \sqrt5\,y_1 = -1\ \Rightarrow\\ y_1 = -\tfrac{1}{\sqrt5}.
  2. \tfrac{1}{\sqrt5}y_1 + \tfrac{2}{\sqrt5}y_2 = 1
    \Rightarrow\\\ -\tfrac{1}{5} + \tfrac{2}{\sqrt5}y_2 =1
    \Rightarrow\\ y_2 = \tfrac{6}{5}\cdot\tfrac{\sqrt5}{2} = \tfrac{3\sqrt5}{5}.
  3. \tfrac{2}{\sqrt5}y_1 + \tfrac{3\sqrt5}{10}y_2 + \tfrac{\sqrt7}{2}y_3 =4
    Calcula-se \tfrac{2}{\sqrt5}(-\tfrac{1}{\sqrt5})+\tfrac{3\sqrt5}{10}\cdot\tfrac{3\sqrt5}{5} = -\tfrac{2}{5}+\tfrac{9}{10}=\tfrac12,
    então \tfrac{\sqrt7}{2}y_3 +\tfrac12=4\ \Rightarrow\\ y_3=\sqrt7.

Passo 7

Agora resolvemos regressivamente em
G^{T}x = y.
As equações são:
  1. \tfrac{\sqrt7}{2}x_3 = y_3 = \sqrt7\ \Rightarrow x_3=2.
  2. \tfrac{2}{\sqrt5}x_2 + \tfrac{3\sqrt5}{10}x_3 = y_2 = \tfrac{3\sqrt5}{5}
    \Rightarrow \tfrac{2}{\sqrt5}x_2 + \tfrac{3\sqrt5}{5} = \tfrac{3\sqrt5}{5}\ \Rightarrow x_2=0.
  3. \sqrt5\,x_1 + \tfrac{1}{\sqrt5}x_2 + \tfrac{2}{\sqrt5}x_3 = y_1 = -\tfrac{1}{\sqrt5}
    \Rightarrow \sqrt5\,x_1 + \tfrac{4}{\sqrt5} = -\tfrac{1}{\sqrt5}\ \Rightarrow x_1=-1.

Resposta

a) Sim, A é definida positiva e admite Cholesky.
b)
G = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 & 0\\\ \tfrac{1}{\sqrt{5}} & \tfrac{2}{\sqrt{5}} & 0\\\ \tfrac{2}{\sqrt{5}} & \tfrac{3\sqrt{5}}{10} & \tfrac{\sqrt{7}}{2} \end{pmatrix}.
c) \det(A)=7.
d) A solução é
x = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.

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