11 Seja A=\left(\begin{array}{lll}5 & 1 & 2 \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right)
a) Verifique se A pode ser decomposta em G.G { }^{\mathrm{T}} (Cholesky).
b) Decomponha A em G.G { }^{T}.
c) Calcule o determinante de A.
d) Resolva o sistema A.x=b, em que b=\left(\begin{array}{r}-1 \\\\ 1 \\\\ 4\end{array}\right).
e pede:
a) verificar se existe decomposição de Cholesky A=G\,G^{T},
b) encontrar G,
c) calcular \det(A),
d) resolver A x = b com
b = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 4\end{pmatrix}.
O conteúdo principal é decomposição de Cholesky e solução de sistemas triangulares.
Passo 2
Para existir a decomposição de Cholesky é preciso que A seja simétrica e definida positiva.
A é simétrica por inspeção.
Verificamos os menores principais: \det\bigl([5]\bigr)=5>0, \det\begin{pmatrix}5&1\\\ 1&1\end{pmatrix}=5\cdot1-1\cdot1=4>0, \det(A) (calcularemos depois) será positivo.
Logo A é definida positiva e a decomposição existe.
Passo 3
Vamos construir G triangular inferior com entradas g_{ij}: