7 Seja A=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 3 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 3\end{array}\right)
a) Verifique se a matriz A satisfaz as condições da decomposição LU.
b) Decomponha A em LU.
c) Calcule o determinante de A.
d) Resolva o sistema A.x =\mathrm{b}, onde b=\left(\begin{array}{l}9 \\\\ 1 \\\\ 7\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\[6pt] 0 & -1 & 1\\[6pt] 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}
e pede:
(a) verificar se podemos fazer decomposição LU sem pivotamento;
(b) encontrar L e U em A=LU;
(c) calcular \det(A);
(d) resolver A x = b com
b = \begin{pmatrix}9\\[3pt]1\\[3pt]7\end{pmatrix}.
Vamos usar o método de Doolittle (L com uns na diagonal e U triangular superior).]

Passo 2

Para poder aplicar LU sem troca de linhas, todos os menores principais devem ser não nulos:
Menor de ordem 1:
M_1 = a_{11} = 2 \neq 0.
Menor de ordem 2 (leading 2×2):
M_2 = \det\begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 0 & -1\end{pmatrix} = 2\cdot(-1)-0\cdot1 = -2 \neq 0.
Como estes são não nulos, a decomposição LU existe sem pivotamento.

Passo 3

Aplicando Doolittle, escrevemos
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \ell_{21} & 1 & 0\\\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\\\ 0 & u_{22} & u_{23}\\\\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}.
  1. u_{11}=2,\;u_{12}=1,\;u_{13}=3.
  2. \ell_{21}=0/2=0, logo u_{22}=-1-0\cdot1=-1,\;u_{23}=1-0\cdot3=1.
  3. \ell_{31}=1/2, e então
\ell_{32}=\frac{0-(1/2)\cdot1}{u_{22}} =\frac{-1/2}{-1}=\tfrac12.
  1. Finalmente
u_{33} =3 - \ell_{31}\,u_{13} - \ell_{32}\,u_{23} =3 - \tfrac12\cdot3 - \tfrac12\cdot1 =1.
Assim
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & \tfrac12 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Como \det(L)=1 (triangular com uns na diagonal), temos
\det(A)=\det(L)\,\det(U) =1\cdot(2\cdot(-1)\cdot1) =-2.

Passo 5

Para resolver A x=b\) fazemos primeiro \(L\,y=b\): \[\begin{cases} y_1 = 9,\\[3pt] y_2 = 1 - 0\cdot y_1 = 1,\\[3pt] y_3 = 7 - \tfrac12\,y_1 - \tfrac12\,y_2 =7 - 4,5 - 0,5 = 2. \end{cases}
Em seguida U\,x=y\]: \[\begin{cases} x_3 = y_3 /1 = 2,\\[3pt] x_2 = (y_2 - 1\cdot x_3)/(-1) = (1-2)/(-1)=1,\\[3pt] x_1 = (y_1 - 1\cdot x_2 - 3\cdot x_3)/2 = (9 -1 -6)/2=1. \end{cases}\] Logo \(x=(1,1,2)^{T}.]

Resposta

(a) Sim, pois os menores principais de ordem 1 e 2 são não nulos.
(b)
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\ \tfrac12 & \tfrac12 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(c) \det(A) = -2.
(d) x = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.

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