7 Seja
a) Verifique se a matriz A satisfaz as condições da decomposição LU.
b) Decomponha A em LU.
c) Calcule o determinante de A.
d) Resolva
sistema A.x
, onde
.
a) Verifique se a matriz A satisfaz as condições da decomposição LU.
b) Decomponha A em LU.
c) Calcule o determinante de A.
d) Resolva
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede:
(a) verificar se podemos fazer decomposição LU sem pivotamento;
(b) encontrar e
em
;
(c) calcular ;
(d) resolver com
(a) verificar se podemos fazer decomposição LU sem pivotamento;
(b) encontrar
(c) calcular
(d) resolver
Vamos usar o método de Doolittle (L com uns na diagonal e U triangular superior).]
Passo 2
Para poder aplicar LU sem troca de linhas, todos os menores principais devem ser não nulos:
Menor de ordem 1:
Menor de ordem 1:
Menor de ordem 2 (leading 2×2):
Como estes são não nulos, a decomposição LU existe sem pivotamento.
Passo 3
Aplicando Doolittle, escrevemos
-
-
, logo -
e então
- Finalmente
Assim
Passo 4
Como
(triangular com uns na diagonal), temos
Passo 5
Para resolver
Em seguida
.]
Resposta
(a) Sim, pois os menores principais de ordem 1 e 2 são não nulos.
(b)
(b)
(c)
.
(d)
(d)