8 Resolva o sistema A.x=b pelo Método da Decomposição LU, em que
A=\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right) e \quad b=\left(\begin{array}{r} 10 \\ 7 \\ 6 \\ 5 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema A x = b pelo Método da Decomposição LU (Doolittle), sem pivoteamento. Vamos decompor
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 2 & 1 & 2 & 3\\\\ 3 & 2 & 1 & 2\\\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \;,\quad b = \begin{pmatrix}10\\\ 7\\\ 6\\\ 5\end{pmatrix}
em A = LU, com L unitária inferior e U triangular superior, depois resolver L\,y=b e U\,x=y.

Passo 2

Calcular a primeira linha de U e a primeira coluna de L por
U_{1j} = A_{1j},\quad j=1,2,3,4,
L_{i1} = \frac{A_{i1}}{U_{11}},\quad i=2,3,4.
Logo
U_{11}=1,\;U_{12}=2,\;U_{13}=3,\;U_{14}=4,
L_{21}=2,\;L_{31}=3,\;L_{41}=4.

Passo 3

Calcular a segunda linha de U e a segunda coluna de L por
U_{2j} = A_{2j} - L_{21}\,U_{1j},\quad j=2,3,4,
L_{i2} = \frac{A_{i2} - L_{i1}\,U_{12}}{U_{22}},\quad i=3,4.
Substituindo, obtemos
U_{22} = 1 - 2\cdot2 = -3,\; U_{23} = 2 - 2\cdot3 = -4,\; U_{24} = 3 - 2\cdot4 = -5,
L_{32} = \frac{2 - 3\cdot2}{-3} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3},\; L_{42} = \frac{3 - 4\cdot2}{-3} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}.

Passo 4

Calcular a terceira linha de U e o elemento L_{43} por
U_{3j} = A_{3j} - L_{31}U_{1j} - L_{32}U_{2j},\quad j=3,4,
L_{43} = \frac{A_{43} - L_{41}U_{13} - L_{42}U_{23}}{U_{33}}.
Fica
U_{33} = 1 - 3\cdot3 - \tfrac{4}{3}(-4) = -\tfrac{8}{3},\; U_{34} = 2 - 3\cdot4 - \tfrac{4}{3}(-5) = -\tfrac{10}{3},
L_{43} = \frac{2 - 4\cdot3 - \tfrac{5}{3}(-4)}{-8/3} = \frac{-10/3}{-8/3} = \tfrac{5}{4}.

Passo 5

Calcular o único elemento restante de U:
U_{44} = A_{44} - L_{41}U_{14} - L_{42}U_{24} - L_{43}U_{34} = 1 - 4\cdot4 - \tfrac{5}{3}(-5) - \tfrac{5}{4}(-\tfrac{10}{3}) = -\tfrac{5}{2}.

Passo 6

Resolver L\,y=b por substituição direta
y_1 = b_1 = 10,
y_2 = b_2 - L_{21}y_1 = 7 - 2\cdot10 = -13,
y_3 = b_3 - L_{31}y_1 - L_{32}y_2 = 6 - 3\cdot10 - \tfrac{4}{3}(-13) = -\tfrac{20}{3},
y_4 = b_4 - L_{41}y_1 - L_{42}y_2 - L_{43}y_3 = 5 - 4\cdot10 - \tfrac{5}{3}(-13) - \tfrac{5}{4}\bigl(-\tfrac{20}{3}\bigr) = -5.
Portanto
y = \begin{pmatrix}10\\\ -13\\\ -\tfrac{20}{3}\\\ -5\end{pmatrix}.

Passo 7

Resolver U\,x=y por substituição para trás
(-\tfrac{5}{2})x_4 = -5 \;\Rightarrow\; x_4 = 2,
-\tfrac{8}{3}x_3 - \tfrac{10}{3}\,x_4 = -\tfrac{20}{3}\;\Rightarrow\; x_3=0,
-3\,x_2 -4\,x_3 -5\,x_4 = -13\;\Rightarrow\; -3x_2-10=-13\;\Rightarrow\; x_2=1,
x_1 +2\,x_2 +3\,x_3 +4\,x_4 = 10\;\Rightarrow\; x_1+2+8=10\;\Rightarrow\; x_1=0.

Resposta

x = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.

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