12 Seja A=\left(\begin{array}{rrrr}16 & 4 & 8 & 4 \\\\ 4 & 10 & 8 & 4 \\\\ 8 & 8 & 12 & 10 \\\\ 4 & 4 & 10 & 12\end{array}\right)
a) Verifique se A pode ser decomposta em G.G { }^{T}.
b) Decomponha A em G.G { }^{T}.
c) Calcule o determinante de A.
d) Resolva o sistema A.x=b, em que b=\left(\begin{array}{l}32 \\\\ 26 \\\\ 38 \\\\ 30\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado fornece a matriz simétrica
A = \begin{pmatrix} 16 & 4 & 8 & 4 \\[6pt] 4 & 10 & 8 & 4 \\[6pt] 8 & 8 & 12 & 10 \\[6pt] 4 & 4 & 10 & 12 \end{pmatrix}
e o vetor
b = \begin{pmatrix}32\\\ 26\\\ 38\\\ 30\end{pmatrix}.
Pede‐se
a) verificar se existe decomposição de Cholesky A=G\,G^T,
b) encontrar G,
c) calcular \det(A),
d) resolver A\,x=b.
Vamos usar o teste dos menores principais para garantia de positividade definida, depois construir G, obter o determinante pelo produto dos pivôs e finalmente resolver o sistema por substituições.]

Passo 2

Para Cholesky precisamos de A positiva definida. Calculamos os menores principais:
\Delta_1 = 16 > 0,
\Delta_2 = \det\begin{pmatrix}16 & 4\\\ 4 & 10\end{pmatrix} = 16\cdot10 - 4\cdot4 = 144 > 0,
\Delta_3 = \det\begin{pmatrix} 16 & 4 & 8\\\\ 4 & 10 & 8\\\\ 8 & 8 & 12 \end{pmatrix} = 576 > 0.
Como todos os três primeiros menores principais são positivos e A é simétrica, A é positiva definida e, portanto, admite decomposição de Cholesky.

Passo 3

Construímos G triangular inferior com entradas g_{ij} tais que A=G\,G^T.
  1. g_{11} = \sqrt{16}=4.
  2. g_{21} = \tfrac{4}{4}=1,\;g_{31}=\tfrac{8}{4}=2,\;g_{41}=\tfrac{4}{4}=1.
  3. g_{22} = \sqrt{10 - 1^2} = 3.
  4. g_{32} = \tfrac{8 - 2\cdot1}{3} = 2,\;g_{42} = \tfrac{4 - 1\cdot1}{3} = 1.
  5. g_{33} = \sqrt{12 - 2^2 - 2^2} = 2.
  6. g_{43} = \tfrac{10 - 1\cdot2 - 1\cdot2}{2} = 3.
  7. g_{44} = \sqrt{12 - 1^2 - 1^2 - 3^2} = 1.
    Logo,
G = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 3 & 0 & 0\\\\ 2 & 2 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

O determinante de A é o quadrado do produto dos pivôs de G:
\det(A) = \bigl(4\cdot3\cdot2\cdot1\bigr)^2 = 24^2 = 576.

Passo 5

Resolvemos G\,y = b por substituição direta:
\begin{cases} 4\,y_1 = 32 \;\Rightarrow\; y_1 = 8,\\\\ 1\cdot y_1 + 3\,y_2 = 26 \;\Rightarrow\; 8 +3y_2=26 \;\Rightarrow\; y_2=6,\\\\ 2\,y_1 +2\,y_2 +2\,y_3 = 38 \;\Rightarrow\;16+12+2y_3=38 \;\Rightarrow\; y_3=5,\\\\ 1\,y_1 +1\,y_2 +3\,y_3 +1\,y_4 = 30 \;\Rightarrow\;8+6+15+y_4=30 \;\Rightarrow\; y_4=1. \end{cases}

Passo 6

Agora resolvemos G^T x = y por substituição regressiva:
\begin{cases} x_4 = y_4 = 1,\\\\ 2\,x_3 +3\,x_4 = y_3 =5 \;\Rightarrow\;2x_3+3=5\;\Rightarrow\;x_3=1,\\\\ 3\,x_2 +2\,x_3 +1\,x_4 = y_2 =6 \;\Rightarrow\;3x_2+2+1=6\;\Rightarrow\;x_2=1,\\\\ 4\,x_1 +1\,x_2 +2\,x_3 +1\,x_4 = y_1 =8 \;\Rightarrow\;4x_1+1+2+1=8\;\Rightarrow\;x_1=1. \end{cases}

Resposta

a) Sim, A é positiva definida e admite decomposição A=G\,G^T.
b)
G = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 3 & 0 & 0\\\\ 2 & 2 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
c) \det(A)=576.
d) A solução é
x = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

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