11- Uma viga de 11m está sujeita a uma carga e a foca de cisalhamento segue a equação:
V(x)=5+0,25 x^{2}
Em que V é a força de cisalhamento e x é a distância ao longo da viga. Sabemos de \mathrm{V}=\mathrm{dM} / \mathrm{dx} eM é o momento de fletor. A integração fornece a relação
M=M_{0}+\int_{0}^{x} V d x.
Se \mathrm{M}_{0} for 0 e \mathrm{x}=11, calcule M usando (a) integração analítica, (b) aplicação da regra do trapézio repetida e (c) aplicação das regras de Simpson repetidas. Para (b) e (c), use incrementos de 1m.

Passo 1

O enunciado pede que a partir da função da força de cisalhamento ao longo da viga calculemos o momento de fletor em x=11 quando M_{0}=0. Dados importantes fornecidos:
V(x)=5+0,25\,x^{2},\qquad 0\le x\le 11,
e a relação entre cisalhamento e momento:
\frac{dM}{dx}=V(x)\quad\text{e}\quad M(x)=M_{0}+\int_{0}^{x}V(s)\,ds.
Aqui temos M_{0}=0 e queremos M(11)=\int_{0}^{11}V(x)\,dx.
O enunciado pede três cálculos distintos:
(a) integração analítica;
(b) aplicação da regra do trapézio repetida com incremento h=1 (ou seja, nós em x=0,1,\dots,11);
(c) aplicação das regras de Simpson repetidas com incremento h=1.
Observação importante (a ser usada depois): para aplicar a regra composta de Simpson 1/3 precisamos de um número par de subintervalos. Com h=1 e intervalo total 0\to11 temos n=11 subintervalos (ímpar). Vou explicar e usar uma combinação válida que mantém h=1 (ver passos adiante).

Passo 2

Aula rápida: relação entre derivada e integral que usamos aqui. Se \frac{dM}{dx}=V(x) então integrar ambos os lados entre 0 e x
M(x)-M(0)=\int_{0}^{x}V(s)\,ds,
logo, com M_{0}=M(0)=0,
M(x)=\int_{0}^{x}V(s)\,ds.
Isso significa que para achar M(11) basta integrar V(x) de 0 a 11. Integração analítica de polinômios é direta: a integral de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Vou aplicar isso.

Passo 3

Integração analítica (parte a). Calculamos
M(11)=\int_{0}^{11}\!\bigl(5+0,25\,x^{2}\bigr)\,dx.
Integrando termo a termo:
\int 5\,dx = 5x,\qquad \int 0,25\,x^{2}\,dx = 0,25\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{0,25}{3}x^{3}.
Portanto
M(11)=\left[5x+\frac{0,25}{3}x^{3}\right]_{0}^{11} =5\cdot 11 + \frac{0,25}{3}\cdot 11^{3}.
Calculando 11^{3}=1331, então
M(11)=55 + \frac{0,25\cdot 1331}{3}=55+\frac{1331}{12}.
Como fração isso é
M(11)=\frac{1991}{12}\approx 165,9166667.
(Se preferir com vírgula decimal: \approx 165,9166667.)

Passo 4

Regra do trapézio composta — teoria (parte b). Se temos nós x_{0},x_{1},\dots,x_{n} com passo h, a regra do trapézio composta dá
\int_{x_{0}}^{x_{n}} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\Bigl(f_{0}+2\sum_{i=1}^{n-1}f_{i}+f_{n}\Bigr),
onde f_{i}=f(x_{i}). Aqui h=1, x_{0}=0, x_{11}=11 e n=11. Vou calcular os valores de V(x) nos nós e aplicar a fórmula.

Passo 5

Aplicação prática da regra do trapézio com h=1. Primeiro avalio V em x=0,1,\dots,11. Lembre-se V(x)=5+0,25x^{2}.
Cálculo dos valores:
\begin{aligned} V(0)&=5,\\\ V(1)&=5+0,25\cdot1^{2}=5,25,\\\ V(2)&=6,\\\ V(3)&=7,25,\\\ V(4)&=9,\\\ V(5)&=11,25,\\\ V(6)&=14,\\\ V(7)&=17,25,\\\ V(8)&=21,\\\ V(9)&=25,25,\\\ V(10)&=30,\\\ V(11)&=35,25. \end{aligned}
Somando os termos internos V_{1}+\dots+V_{10}:
\sum_{i=1}^{10}V(i)=146,25.
Agora aplico a fórmula do trapézio:
M(11)\approx \frac{1}{2}\Bigl(V(0)+2\cdot 146,25 + V(11)\Bigr) =\frac{1}{2}\bigl(5 + 292,5 + 35,25\bigr) =\frac{1}{2}\cdot 332,75 = 166,375.
Portanto pela regra do trapézio composta com h=1 obtemos M(11)\approx 166,375.

Passo 6

Regras de Simpson — teoria e observação prática (parte c). A regra composta de Simpson 1/3 exige número par de subintervalos n. Com h=1 e intervalo total 0\to11 temos n=11 (ímpar), então não podemos aplicar Simpson 1/3 puro ao conjunto inteiro. Duas soluções comuns que mantêm h=1:
  • usar Simpson 1/3 composta em parte do intervalo (quantidade par de subintervalos) e usar a regra de Simpson 3/8 para cobrir os últimos 3 subintervalos (a regra 3/8 funciona para um bloco de 3 subintervalos); ou
  • usar Simpson 1/3 em n=10 subintervalos e aplicar trapézio no último subintervalo.
    Vou escolher a combinação Simpson 1/3 composta em 0\to 8 (8 subintervalos, pares) e Simpson 3/8 em 8\to11 (3 subintervalos). Assim mantemos h=1 e usamos fórmulas de Simpson corretamente. Explico as fórmulas:
Simpson 1/3 composta em intervalo [a,b] com passo h e n par:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl(f_{0}+4\sum_{\text{ímpares}}f_{i}+2\sum_{\text{pares}}f_{i}+f_{n}\Bigr).í
Simpson 3/8 para três subintervalos (pontos x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}, h comum):
\int_{x_{0}}^{x_{3}} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3}\bigr).
Aplicamos Simpson 1/3 em [0,8] e Simpson 3/8 em [8,11].

Passo 7

Aplicando Simpson 1/3 composta em [0,8] ( h=1, n=8). Já calculamos os valores V(0) até V(8) no passo 5:
\begin{aligned} f_{0}&=V(0)=5,\\\ f_{1}&=5,25,\; f_{2}=6,\; f_{3}=7,25,\; f_{4}=9,\; f_{5}=11,25,\; f_{6}=14,\; f_{7}=17,25,\; f_{8}=21. \end{aligned}
Somatórios necessários:
\sum_{\text{ímpares}} f_{i}=f_{1}+f_{3}+f_{5}+f_{7}=5,25+7,25+11,25+17,25=41,í
\sum_{\text{pares}} f_{i}=f_{2}+f_{4}+f_{6}=6+9+14=29.
Agora Simpson 1/3:
\int_{0}^{8}V(x)\,dx \approx \frac{1}{3}\bigl(f_{0}+4\cdot 41 + 2\cdot 29 + f_{8}\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(5 + 164 + 58 + 21\bigr)=\frac{248}{3}=82,\overline{6}.
Em decimal: 82,6666667.

Passo 8

Aplicando Simpson 3/8 em [8,11] ( h=1, nós 8,9,10,11). Valores:
f_{8}=21,\; f_{9}=25,25,\; f_{10}=30,\; f_{11}=35,25.
Regra 3/8:
\int_{8}^{11}V(x)\,dx \approx \frac{3\cdot 1}{8}\bigl(f_{8}+3f_{9}+3f_{10}+f_{11}\bigr).
Compute o interior:
f_{8}+3f_{9}+3f_{10}+f_{11}=21 + 3\cdot 25,25 + 3\cdot 30 + 35,25 = 222.
Então
\int_{8}^{11}V(x)\,dx \approx \frac{3}{8}\cdot 222 = 83,25.

Passo 9

Somando as duas contribuições de Simpson:
M(11)\approx \underbrace{82,6666667}_{[0,8]\text{ Simpson }1/3} + \underbrace{83,25}_{[8,11]\text{ Simpson }3/8} =165,9166667.
Note que a função V(x) é um polinômio de grau 2; as regras de Simpson (que são exatas para polinômios até grau 3) devem reproduzir a integral exata. De fato o resultado coincide com a integração analítica obtida no Passo 3, 1991/12\approx 165,9166667. A regra do trapézio teve um pequeno erro (apresentado no Passo 5).

Resposta

(a) M(11)=\dfrac{1991}{12}\approx 165,9166667
(b) Regra do trapézio composta com h=1: M(11)\approx 166,375
(c) Regras de Simpson repetidas (Simpson 1/3 em [0,8] e Simpson 3/8 em [8,11] com h=1): M(11)\approx 165,9166667

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