11- Uma viga de 11m está sujeita a uma carga e a foca de cisalhamento segue a equação: V(x)=5+0,25 x^{2}
Em que V é a força de cisalhamento e x é a distância ao longo da viga. Sabemos de \mathrm{V}=\mathrm{dM} / \mathrm{dx} eM é o momento de fletor. A integração fornece a relação M=M_{0}+\int_{0}^{x} V d x.
Se \mathrm{M}_{0} for 0 e \mathrm{x}=11, calcule M usando (a) integração analítica, (b) aplicação da regra do trapézio repetida e (c) aplicação das regras de Simpson repetidas. Para (b) e (c), use incrementos de 1m.
Passo 1
O enunciado pede que a partir da função da força de cisalhamento ao longo da viga calculemos o momento de fletor em x=11 quando M_{0}=0. Dados importantes fornecidos:
Aqui temos M_{0}=0 e queremos M(11)=\int_{0}^{11}V(x)\,dx.
O enunciado pede três cálculos distintos:
(a) integração analítica;
(b) aplicação da regra do trapézio repetida com incremento h=1 (ou seja, nós em x=0,1,\dots,11);
(c) aplicação das regras de Simpson repetidas com incremento h=1.
Observação importante (a ser usada depois): para aplicar a regra composta de Simpson 1/3 precisamos de um número par de subintervalos. Com h=1 e intervalo total 0\to11 temos n=11 subintervalos (ímpar). Vou explicar e usar uma combinação válida que mantém h=1 (ver passos adiante).
Passo 2
Aula rápida: relação entre derivada e integral que usamos aqui. Se \frac{dM}{dx}=V(x) então integrar ambos os lados entre 0 e x dá
M(x)-M(0)=\int_{0}^{x}V(s)\,ds,
logo, com M_{0}=M(0)=0,
M(x)=\int_{0}^{x}V(s)\,ds.
Isso significa que para achar M(11) basta integrar V(x) de 0 a 11. Integração analítica de polinômios é direta: a integral de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Vou aplicar isso.
Portanto pela regra do trapézio composta com h=1 obtemos M(11)\approx 166,375.
Passo 6
Regras de Simpson — teoria e observação prática (parte c). A regra composta de Simpson 1/3 exige número par de subintervalos n. Com h=1 e intervalo total 0\to11 temos n=11 (ímpar), então não podemos aplicar Simpson 1/3 puro ao conjunto inteiro. Duas soluções comuns que mantêm h=1:
usar Simpson 1/3 composta em parte do intervalo (quantidade par de subintervalos) e usar a regra de Simpson 3/8 para cobrir os últimos 3 subintervalos (a regra 3/8 funciona para um bloco de 3 subintervalos); ou
usar Simpson 1/3 em n=10 subintervalos e aplicar trapézio no último subintervalo.
Vou escolher a combinação Simpson 1/3 composta em 0\to 8 (8 subintervalos, pares) e Simpson 3/8 em 8\to11 (3 subintervalos). Assim mantemos h=1 e usamos fórmulas de Simpson corretamente. Explico as fórmulas:
Simpson 1/3 composta em intervalo [a,b] com passo h e n par:
Note que a função V(x) é um polinômio de grau 2; as regras de Simpson (que são exatas para polinômios até grau 3) devem reproduzir a integral exata. De fato o resultado coincide com a integração analítica obtida no Passo 3, 1991/12\approx 165,9166667. A regra do trapézio teve um pequeno erro (apresentado no Passo 5).
Resposta
(a) M(11)=\dfrac{1991}{12}\approx 165,9166667
(b) Regra do trapézio composta com h=1: M(11)\approx 166,375
(c) Regras de Simpson repetidas (Simpson 1/3 em [0,8] e Simpson 3/8 em [8,11] com h=1): M(11)\approx 165,9166667