10- A função f(x)=2 e^{-1,5 x} pode ser usada para gerar a seguinte tabela de dados desigualmente espaçados:
x 0 0,05 0,15 0,25 0,35 0,475 0,6
\mathrm{f}(\mathrm{x}) 2 1,8555 1,5970 1,3746 1,1831 0,9808 0,8131
Calcule a integral de \mathrm{a}=0 a \mathrm{b}=0,6 usando (a) métodos analíticos, (b) a regra do trapézio, (c) uma combinação das regras do trapézio e de Simpson; empregue as regras de Simpson sempre que possível para obter a máxima acurácia. Calcule o erro relativo porcentual em cada caso.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de \mathrm{a}=0 a \mathrm{b}=0,6 da função \;f(x)=2e^{-1,5x}\; usando três abordagens: (a) método analítico, (b) regra do trapézio (composta) com os pontos dados, (c) uma combinação das regras do trapézio e de Simpson (usar Simpson sempre que possível). Além disso, calcular o erro relativo percentual de cada aproximação em relação ao valor analítico exato.
Dados fornecidos (peguei os números diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccccc} x & 0 & 0,05 & 0,15 & 0,25 & 0,35 & 0,475 & 0,6\\hline f(x) & 2 & 1,8555 & 1,5970 & 1,3746 & 1,1831 & 0,9808 & 0,8131 \end{array}
Lista dos intervalos (diferenças entre x consecutivos), que vou usar no trapézio composto:
\begin{aligned} h_1&=0,05-0=0,05,\\\ h_2&=0,15-0,05=0,10,\\\ h_3&=0,25-0,15=0,10,\\\ h_4&=0,25-0,35=0,10\quad\text{(corrigindo: }h_4=0,35-0,25=0,10\text{)},\\\ h_5&=0,475-0,35=0,125,\\\ h_6&=0,6-0,475=0,125. \end{aligned}
Observação: os valores de f(x) e os x foram lidos da tabela acima; se eu tiver dúvida sobre algum dígito eu avisaria, mas aqui considerei os números conforme fornecidos.

Passo 2

(a) Cálculo analítico exato da integral. Vou lembrar a regra de integração para exponenciais: se \;a\neq0\; então
\int e^{a x}\,dx=\frac{1}{a}e^{a x}+C.
No nosso caso f(x)=2e^{-1,5x}. Então
\int 2e^{-1,5x}\,dx=2\cdot\frac{1}{-1,5}e^{-1,5x}=-\frac{4}{3}e^{-1,5x}+C.
Avalio entre x=0 e x=0,6:
\int_{0}^{0,6}2e^{-1,5x}\,dx=\left[-\frac{4}{3}e^{-1,5x}\right]_{0}^{0,6}=-\frac{4}{3}\bigl(e^{-0,9}-e^{0}\bigr)=\frac{4}{3}\bigl(1-e^{-0,9}\bigr).
Agora calculo numericamente e^{-0,9}. Usando e^{-0,9}\approx0,40656966 (valor padrão de exponencial),
\int_{0}^{0,6}2e^{-1,5x}\,dx=\frac{4}{3}\bigl(1-0,40656966\bigr)=\frac{4}{3}\cdot0,59343034\approx0,79124045.
Portanto o valor exato (numérico) da integral é \approx0,79124045. Vou usar este valor como referência para os erros relativos.

Passo 3

(b) Regra do trapézio composta para pontos desigualmente espaçados. A fórmula geral para intervalos irregulares é aplicar o trapézio em cada subintervalo:
\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x)\,dx\approx \frac{h_i}{2}\bigl(f(x_i)+f(x_{i+1})\bigr),
onde h_i=x_{i+1}-x_i. Vou calcular cada contribuição usando os h_i e os f da tabela (peguei os f diretamente da tabela).
Cálculos intervalares (mostro cada termo para você poder reproduzir na prova):
\begin{aligned} T_1&=\frac{0,05}{2}\bigl(f(0)+f(0,05)\bigr)=0,05\cdot\frac{2+1,8555}{2}=0,0963875,\\[4pt] T_2&=\frac{0,10}{2}\bigl(f(0,05)+f(0,15)\bigr)=0,10\cdot\frac{1,8555+1,5970}{2}=0,172625,\\[4pt] T_3&=\frac{0,10}{2}\bigl(f(0,15)+f(0,25)\bigr)=0,10\cdot\frac{1,5970+1,3746}{2}=0,14858,\\[4pt] T_4&=\frac{0,10}{2}\bigl(f(0,25)+f(0,35)\bigr)=0,10\cdot\frac{1,3746+1,1831}{2}=0,127885,\\[4pt] T_5&=\frac{0,125}{2}\bigl(f(0,35)+f(0,475)\bigr)=0,125\cdot\frac{1,1831+0,9808}{2}=0,13524375,\\[4pt] T_6&=\frac{0,125}{2}\bigl(f(0,475)+f(0,6)\bigr)=0,125\cdot\frac{0,9808+0,8131}{2}=0,11211875. \end{aligned}]

Passo 4

Soma das contribuições do trapézio composto:
T_{\text{comp}}=\sum_{i=1}^{6}T_i=0,0963875+0,172625+0,14858+0,127885+0,13524375+0,11211875=0,79284.
Agora erro relativo percentual: dado o valor exato \;I_{\text{exato}}\approx0,79124045\;, o erro relativo percentual é
\text{ER\%}=\left|\frac{T_{\text{comp}}-I_{\text{exato}}}{I_{\text{exato}}}\right|\times100\%.
Substituindo:
\text{ER\%}=\left|\frac{0,79284-0,79124045}{0,79124045}\right|\times100\%\approx0,202\%.
Interpretação curta: o trapézio composto com esses pontos deu \;0,79284\; com erro relativo de aproximadamente \;0,202\%.

Passo 5

(c) Combinação de Simpson e trapézio (usar Simpson sempre que possível). Vou explicar a regra de Simpson (1/3) para que você saiba aplicar na prova: se temos três pontos igualmente espaçados x_0,x_1,x_2 com passo h=x_1-x_0=x_2-x_1, a aproximação de Simpson no intervalo [x_0,x_2] é
\int_{x_0}^{x_2} f(x)\,dx\approx \frac{h}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr).
Regra prática: Simpson exige dois subintervalos de mesma largura seguida (ou, em outras palavras, um número par de subintervalos com passo constante). Como nossos pontos são desigualmente espaçados globalmente, eu procuro blocos consecutivos onde as larguras são iguais e aplico Simpson nesses blocos; para os intervalos restantes uso o trapézio. Esta escolha maximiza a acurácia porque Simpson tem erro de ordem h^4 local enquanto trapézio tem ordem h^2.
Olho para os h_i calculados antes e identifico blocos com espaçamento constante:
  • Entre x=0,05, 0,15, 0,25 os passos são 0,10 e 0,10: posso aplicar Simpson em [0,05,\,0,25].
  • Entre x=0,35, 0,475, 0,6 os passos são 0,125 e 0,125: posso aplicar Simpson em [0,35,\,0,6].
  • Os intervalos sobrantes [0,0,05] e [0,25,\,0,35] são tratados pelo trapézio.
Essa é a melhor combinação sem sobrepor intervalos e usando Simpson sempre que possível.

Passo 6

Calcule as contribuições do método misto (mostro cada bloco):
  1. Trapézio no primeiro pequeno intervalo [0,0,05] — já computado antes:
T_{[0,0,05]}=0,0963875.
  1. Simpson no bloco [0,05,\,0,25] com h=0,10, pontos x_0=0,05, x_1=0,15, x_2=0,25:
S_{[0,05,0,25]}=\frac{0,10}{3}\bigl(f(0,05)+4f(0,15)+f(0,25)\bigr).
Substituindo f (peguei da tabela):
S_{[0,05,0,25]}=\frac{0,10}{3}\bigl(1,8555+4\cdot1,5970+1,3746\bigr)=\frac{0,10}{3}\cdot9,6181\approx0,3206033333.
  1. Trapézio no intervalo [0,25,\,0,35] — também já computado:
T_{[0,25,0,35]}=0,127885.
  1. Simpson no bloco [0,35,\,0,6] com h=0,125, pontos x_0=0,35, x_1=0,475, x_2=0,6:
S_{[0,35,0,6]}=\frac{0,125}{3}\bigl(f(0,35)+4f(0,475)+f(0,6)\bigr).
Substituindo f:
S_{[0,35,0,6]}=\frac{0,125}{3}\bigl(1,1831+4\cdot0,9808+0,8131\bigr)=\frac{0,125}{3}\cdot5,9194\approx0,2466416667.

Passo 7

Somando todas as contribuições do método misto:
I_{\text{misto}}=T_{[0,0,05]}+S_{[0,05,0,25]}+T_{[0,25,0,35]}+S_{[0,35,0,6]}
I_{\text{misto}}=0,0963875+0,3206033333+0,127885+0,2466416667\approx0,7915175.
Agora o erro relativo percentual em relação ao valor exato I_{\text{exato}}\approx0,79124045:
\text{ER\%}=\left|\frac{0,7915175-0,79124045}{0,79124045}\right|\times100\%\approx0,035\%.
Comparação intuitiva: o método misto ficou bem melhor que o trapézio puro, porque usamos Simpson nas regiões onde foi possível — e o erro reduziu de \sim0,202\% para \sim0,035\%. Isso é exatamente a vantagem de empregar Simpson sempre que houver pares de subintervalos com mesmo h.

Resposta

(a) \displaystyle\int_{0}^{0,6}2e^{-1,5x}\,dx=\frac{4}{3}\bigl(1-e^{-0,9}\bigr)\approx0,79124045
(b) Trapézio composto: 0,79284 erro relativo \approx0,202\%
(c) Combinação (Simpson onde possível + trapézio nos restantes): 0,7915175 erro relativo \approx0,035\%

Exercícios relacionados