12- O trabalho produzido por um processo termodinâmico a temperatura constante pode ser calculado por:
em que W é o trabalho, p é a pressão e V é o volume. Com uma combinação da regra do trapézio, regra 1/3 de Simpson e regra 3/8 de Simpson, use os seguintes dados para calcular o trabalho em
:
Pressão(kPa)
336
294,4
266,4
260,8
260,5
259,6
193,6
165,6
Volume
0,5
2
3
4
6
8
10
11
| Pressão(kPa) | 336 | 294,4 | 266,4 | 260,8 | 260,5 | 259,6 | 193,6 | 165,6 |
| Volume
|
0,5 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 11 |
Passo 1
O enunciado pede para aproximar o trabalho
usando uma combinação da regra do trapézio, da regra de Simpson
e da regra de Simpson
, a partir dos dados tabelados. As perguntas são: calcular o valor aproximado do trabalho
em
.\n
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
Passo 2
Entendendo o que vamos calcular e as unidades (aula rapidinha):
- A integral
dá a área sob a curva , que representa o trabalho realizado pelo sistema. - As pressões estão em
. Lembrete: . Então
Portanto, não precisamos converter além de manter as unidades; o resultado virá direto em
.
Passo 3
Apresentando as fórmulas numéricas que vamos usar (aula de método):
- Regra do trapézio para um intervalo
com :
Aqui
e
. Serve para qualquer
.
- Regra de Simpson
para dois subintervalos iguais (três pontos) com passo :
É obrigatório que os dois subintervalos tenham o mesmo comprimento
.
- Regra de Simpson
para três subintervalos iguais (quatro pontos) com passo :
É obrigatório que os três subintervalos tenham o mesmo
.
Explicação curta do porquê: as fórmulas são quadraturas que aproximam
por polinômios (reta, parabólica, cúbica) que passam pelos pontos conhecidos; os coeficientes (1,4,1) e (1,3,3,1) vêm da integração desses polinômios.
Passo 4
Escolhendo como particionar os dados (motivo prático, aplicação do algoritmo do enunciado):
- Olhando as diferenças sucessivas em
: s são
entre os pontos. Para aplicar as regras precisamos de segmentos com passo constante dentro de cada aplicação. Uma escolha natural que usa todas as três regras é:
- Aplicar trampézio em
porque é um único subintervalo com . - Aplicar Simpson
em porque são dois subintervalos iguais com (pontos ). - Aplicar Simpson
em porque há três subintervalos iguais com (pontos ). - Aplicar trampézio em
que é um único subintervalo com .
Essa escolha usa todas as regras pedidas e cobre todo o domínio de
.
Passo 5
Cálculo do segmento 1: trapézio em
.
- Dados:
, , . - Pressões:
, .
Aplicando a fórmula do trapézio:
Calcule passo a passo:
Passo 6
Cálculo do segmento 2: Simpson
em
.
- Aqui
, pontos com , , .
Fórmula:
Calcule:
(Deixo como
para precisão; se preferir, arredonde para
.)
Passo 7
Cálculo do segmento 3: Simpson
em
.
- Aqui temos três subintervalos iguais com
e pontos . - Pressões:
, , , .
Fórmula:
Calcule internamente:
Passo 8
Cálculo do segmento 4: trapézio em
.
-
, , .
Aplicando trapézio:
Passo 9
Juntando as contribuições (anotei cada parcela para depois somar):
A integral aproximada é a soma das quatro parcelas: