12- O trabalho produzido por um processo termodinâmico a temperatura constante pode ser calculado por:
W=\int p d V
em que W é o trabalho, p é a pressão e V é o volume. Com uma combinação da regra do trapézio, regra 1/3 de Simpson e regra 3/8 de Simpson, use os seguintes dados para calcular o trabalho em \mathrm{kJ}(\mathrm{kJ}=\mathrm{kN} \mathrm{m}) :
Pressão(kPa) 336 294,4 266,4 260,8 260,5 259,6 193,6 165,6
Volume \left(\mathrm{m}^{3}\right) 0,5 2 3 4 6 8 10 11

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o trabalho
W=\int p\,dV
usando uma combinação da regra do trapézio, da regra de Simpson 1/3 e da regra de Simpson 3/8, a partir dos dados tabelados. As perguntas são: calcular o valor aproximado do trabalho W em \mathrm{kJ}.\n
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccccc} \text{Volume }(m^3) & 0{,}5 & 2 & 3 & 4 & 6 & 8 & 10 & 11\\hline \text{Pressão }(kPa) & 336 & 294{,}4 & 266{,}4 & 260{,}8 & 260{,}5 & 259{,}6 & 193{,}6 & 165{,}6 \end{array}ã

Passo 2

Entendendo o que vamos calcular e as unidades (aula rapidinha):
  • A integral \int p\,dV dá a área sob a curva p(V), que representa o trabalho realizado pelo sistema.
  • As pressões estão em \mathrm{kPa}. Lembrete: 1\\ \mathrm{kPa}=1\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2. Então
\mathrm{kPa}\cdot\mathrm{m}^3 = \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}^2}\cdot\mathrm{m}^3=\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{kJ}.
Portanto, não precisamos converter além de manter as unidades; o resultado virá direto em \mathrm{kJ}.

Passo 3

Apresentando as fórmulas numéricas que vamos usar (aula de método):
  • Regra do trapézio para um intervalo [V_0,V_1] com \Delta V=h:
\int_{V_0}^{V_1} p\,dV \approx \frac{h}{2}\bigl(p_0+p_1\bigr).
Aqui p_0=p(V_0) e p_1=p(V_1). Serve para qualquer \Delta V.
  • Regra de Simpson 1/3 para dois subintervalos iguais (três pontos) com passo h:
\int_{V_0}^{V_2} p\,dV \approx \frac{h}{3}\bigl(p_0+4p_1+p_2\bigr).
É obrigatório que os dois subintervalos tenham o mesmo comprimento h.
  • Regra de Simpson 3/8 para três subintervalos iguais (quatro pontos) com passo h:
\int_{V_0}^{V_3} p\,dV \approx \frac{3h}{8}\bigl(p_0+3p_1+3p_2+p_3\bigr).
É obrigatório que os três subintervalos tenham o mesmo h.
Explicação curta do porquê: as fórmulas são quadraturas que aproximam p(V) por polinômios (reta, parabólica, cúbica) que passam pelos pontos conhecidos; os coeficientes (1,4,1) e (1,3,3,1) vêm da integração desses polinômios.

Passo 4

Escolhendo como particionar os dados (motivo prático, aplicação do algoritmo do enunciado):
  • Olhando as diferenças sucessivas em V: \Delta Vs são
1{,}5,\;1,\;1,\;2,\;2,\;2,\;1
entre os pontos. Para aplicar as regras precisamos de segmentos com passo constante dentro de cada aplicação. Uma escolha natural que usa todas as três regras é:
  1. Aplicar trampézio em [0{,}5,\,2] porque é um único subintervalo com h=1{,}5.
  2. Aplicar Simpson 1/3 em [2,\,4] porque são dois subintervalos iguais com h=1 (pontos 2,3,4).
  3. Aplicar Simpson 3/8 em [4,\,10] porque há três subintervalos iguais com h=2 (pontos 4,6,8,10).
  4. Aplicar trampézio em [10,\,11] que é um único subintervalo com h=1.
Essa escolha usa todas as regras pedidas e cobre todo o domínio de V.

Passo 5

Cálculo do segmento 1: trapézio em [0{,}5,\,2].
  • Dados: V_0=0{,}5, V_1=2, h=2-0{,}5=1{,}5.
  • Pressões: p_0=336, p_1=294{,}4.
    Aplicando a fórmula do trapézio:
W_1=\frac{h}{2}\bigl(p_0+p_1\bigr)=\frac{1{,}5}{2}\bigl(336+294{,}4\bigr).
Calcule passo a passo:
336+294{,}4=630{,}4,
\frac{1{,}5}{2}=0{,}75,
W_1=0{,}75\cdot 630{,}4=472{,}8\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Cálculo do segmento 2: Simpson 1/3 em [2,\,4].
  • Aqui h=1, pontos V=2,3,4 com p(2)=294{,}4, p(3)=266{,}4, p(4)=260{,}8.
    Fórmula:
W_2=\frac{h}{3}\bigl(p_0+4p_1+p_2\bigr)=\frac{1}{3}\bigl(294{,}4+4\cdot266{,}4+260{,}8\bigr).
Calcule:
4\cdot266{,}4=1065{,}6,
294{,}4+1065{,}6+260{,}8=1620{,}8,
W_2=\frac{1620{,}8}{3}=540{,}266\overline{6}\\ \mathrm{kJ}.
(Deixo como 540{,}266\overline{6} para precisão; se preferir, arredonde para 540{,}267.)

Passo 7

Cálculo do segmento 3: Simpson 3/8 em [4,\,10].
  • Aqui temos três subintervalos iguais com h=2 e pontos V=4,6,8,10.
  • Pressões: p(4)=260{,}8, p(6)=260{,}5, p(8)=259{,}6, p(10)=193{,}6.
    Fórmula:
W_3=\frac{3h}{8}\bigl(p_0+3p_1+3p_2+p_3\bigr)=\frac{3\cdot 2}{8}\bigl(260{,}8+3\cdot260{,}5+3\cdot259{,}6+193{,}6\bigr).
Calcule internamente:
3\cdot260{,}5=781{,}5,\qquad 3\cdot259{,}6=778{,}8,
260{,}8+781{,}5+778{,}8+193{,}6=2014{,}7,
\frac{3\cdot2}{8}=\frac{6}{8}=0{,}75,
W_3=0{,}75\cdot2014{,}7=1511{,}025\\ \mathrm{kJ}.

Passo 8

Cálculo do segmento 4: trapézio em [10,\,11].
  • h=1, p(10)=193{,}6, p(11)=165{,}6.
    Aplicando trapézio:
W_4=\frac{1}{2}\bigl(193{,}6+165{,}6\bigr)=\frac{1}{2}\cdot359{,}2=179{,}6\\ \mathrm{kJ}.

Passo 9

Juntando as contribuições (anotei cada parcela para depois somar):
W_1=472{,}8\\ \mathrm{kJ},\quad W_2=540{,}266\overline{6}\\ \mathrm{kJ},\quad W_3=1511{,}025\\ \mathrm{kJ},\quad W_4=179{,}6\\ \mathrm{kJ}.
A integral aproximada é a soma das quatro parcelas:
W=W_1+W_2+W_3+W_4.

Resposta

W\approx 2703{,}692\\ \mathrm{kJ}

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