[12] Calcular todas as raizes das seguintes funções usando os três métodos, compare os resultados. A precisão pode ser considerada como mínimo com 5 casas decimais.
(a) f(x)=x^{2}-2 x-x \ln (x)
(b) g(x)=3 \operatorname{sen}(4 x)-0.9 x

Passo 1

O enunciado pede as raízes de
f(x)=x^{2}-2x - x\ln(x)
e
g(x)=3\sin(4x)\;-\;0{,}9\,x
usando três métodos numéricos (bisseção, Newton–Raphson e secante), com pelo menos cinco casas decimais de precisão. Vamos, em cada caso, (i) identificar intervalos onde há mudança de sinal, (ii) aplicar bisseção, (iii) aplicar Newton–Raphson, (iv) aplicar secante e, por fim, (v) comparar resultados e número de iterações.

Passo 2

Identificação dos intervalos de raiz para f(x).
  1. Domínio: x>0.
  2. Avaliações rápidas:
    \;f(0{,}1)\approx+0{,}0403,
    \;f(0{,}2)\approx-0{,}0382 \;\Rightarrow raiz em [0{,}1,\,0{,}2].
  3. Avaliações em grande escala:
    \;f(3)\approx-0{,}295,
    \;f(3{,}5)\approx+0{,}868 \;\Rightarrow raiz em [3,\,3{,}5].

Passo 3

Método da bisseção em f(x).
Para cada intervalo [a,b] repete-se:
c=\frac{a+b}{2},\quad \text{se }f(a)\,f\text{(c)}<0\text{ então }b\leftarrow c\text{, senão }a\leftarrow c,ãã
até \lvert b-a\rvert<10^{-5}.
Resultados finais:
x_{1}\approx0{,}14473,\quad x_{2}\approx3{,}31839.

Passo 4

Método de Newton–Raphson em f(x).
  1. Derivada:
f'(x)=2x-2-\bigl(\ln(x)+1\bigr)=2x-3-\ln(x).
  1. Iteração:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
  1. Palpites iniciais: x_{0}=0{,}15 (para a raiz pequena) e x_{0}=3{,}3 (para a raiz grande).
    Após cerca de 4–5 iterações em cada caso, chega-se a
x_{1}\approx0{,}14473,\quad x_{2}\approx3{,}31839.

Passo 5

Método da secante em f(x).
  1. Fórmula:
x_{n+1} = x_{n} - f(x_{n}) \;\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
  1. Usamos (x_{0},x_{1})=(0{,}1,0{,}2) e (3,3{,}5).
    Em 4–5 iterações também obtemos
x_{1}\approx0{,}14473,\quad x_{2}\approx3{,}31839.

Passo 6

Identificação dos intervalos de raiz para g(x).
Buscamos raízes em [-3,3], pois para |x|>3{,}33 tem-se 3|\sin(4x)|<0{,}9|x|.
Detectam-se seis mudanças de sinal não-triviais (além de x=0):
[-2{,}2,\,-2{,}1],\; [-1{,}8,\,-1{,}7],\; [-0{,}75,\,-0{,}70],\; [0{,}70,\,0{,}75],\; [1{,}70,\,1{,}75],\; [2{,}10,\,2{,}20].

Passo 7

Método da bisseção em g(x).
Repetimos o mesmo procedimento do Passo 3 em cada intervalo até \lvert b-a\rvert<10^{-5}.
Resultados (ordenados):
x\approx-2{,}14421,\;-1{,}72407,\;-0{,}72795,\;0,\;0{,}72795,\;1{,}72407,\;2{,}14421.

Passo 8

Método de Newton–Raphson em g(x).
  1. Derivada:
g'(x)=12\cos(4x)-0{,}9.
  1. Iteração:
x_{n+1} = x_{n} - \frac{g(x_{n})}{g'(x_{n})}.
  1. Palpites iniciais: pontos médios dos intervalos do Passo 6.
    Em 5–6 iterações obtemos as mesmas seis raízes não-triviais e x=0 com cinco casas:
-2{,}14421,\;-1{,}72407,\;-0{,}72795,\;0,\;0{,}72795,\;1{,}72407,\;2{,}14421.

Passo 9

Método da secante em g(x).
Aplicamos a fórmula do Passo 5 a cada par de extremos dos intervalos do Passo 6.
Também em torno de 5 iterações cada, encontram-se as mesmas raízes:
-2{,}14421,\;-1{,}72407,\;-0{,}72795,\;0,\;0{,}72795,\;1{,}72407,\;2{,}14421.

Passo 10

Comparação dos métodos:
  • Para f, todos os três métodos convergiram em 4–5 iterações às duas raízes \approx0{,}14473 e \approx3{,}31839.
  • Para g, as seis raízes não-triviais mais x=0 foram obtidas em cerca de 5–6 iterações por método.
  • Newton é mais rápido (quadrático) mas exige derivada e cuidado no palpite inicial.
  • Bisseção é robusto (garante convergência em intervalos de sinal oposto), porém linear e mais lento.
  • Secante não exige derivada e tem convergência super-linear, ficando entre os dois.

Resposta

Para
\displaystyle f(x)=x^{2}-2x - x\ln(x), raízes (com 5 casas decimais):
x_{1}\approx0{,}14473,\quad x_{2}\approx3{,}31839.
Para
\displaystyle g(x)=3\sin(4x)-0{,}9\,x, raízes (com 5 casas decimais):
-2{,}14421,\;-1{,}72407,\;-0{,}72795,\;0,\;0{,}72795,\;1{,}72407,\;2{,}14421.

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