Use o método da Secante para obter pelo menos uma raiz das equações a seguir com precisão \epsilon=10^{-8}.
e^{-\frac{2 x}{3}}-x \ln (x)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, usando o método da secante, uma raiz da equação
e^{-\frac{2x}{3}} - x\ln(x) = 0
com precisão \varepsilon = 10^{-8}. O conteúdo é método iterativo de raízes não lineares (método da secante) e vamos precisar da fórmula
x_{n+1} \;=\; x_n \;-\; f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})},
além de um critério de parada como \bigl|f(x_n)\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Definimos
f(x) = e^{-\tfrac{2x}{3}} - x\ln(x).
No método da secante usamos dois pontos iniciais x_0 e x_1 e repetimos
x_{k+1} = x_k - f(x_k)\,\frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k)-f(x_{k-1})}
até \bigl|f(x_{k+1})\bigr|<10^{-8}.

Passo 3

Escolhemos x_0=1 e x_1=2. Calculamos
f(1)=e^{-\tfrac{2}{3}} - 1\cdot\ln(1)\approx 0{,}513417, \quad f(2)=e^{-\tfrac{4}{3}} - 2\ln(2)\approx -1{,}122693.
Aplicando a secante obtemos
x_2 = 2 - (-1{,}122693)\,\frac{2-1}{-1{,}122693 - 0{,}513417} \approx 1{,}313516.

Passo 4

Agora
f(x_2)=e^{-\tfrac{2\cdot1{,}313516}{3}} - 1{,}313516\ln(1{,}313516) \approx 0{,}059669.
Usando os pares (x_1,f(x_1)) e (x_2,f(x_2)), a próxima iteração dá
x_3 = 1{,}313516 - 0{,}059669\,\frac{1{,}313516-2}{0{,}059669 - (-1{,}122693)} \approx 1{,}348144,
com
f(x_3)\approx 0{,}002980.

Passo 5

Repetimos:
– De (x_2,f(x_2)) e (x_3,f(x_3)) vem
x_4\approx1{,}349965,\quad f(x_4)\approx0{,}000136.
– De (x_3,f(x_3)) e (x_4,f(x_4)) vem
x_5\approx1{,}350052,\quad f(x_5)\approx0{,}0000018.
– De (x_4,f(x_4)) e (x_5,f(x_5)) vem
x_6\approx1{,}3500532,\quad f(x_6)\approx7\times10^{-9}<10^{-8}.

Passo 6

Como \bigl|f(x_6)\bigr|<10^{-8}, paramos. A raiz aproximada é
x \approx 1{,}3500532.

Resposta

A raiz buscada é aproximadamente
x \approx 1{,}3500532.

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