Use o método da Secante para obter pelo menos uma raiz das equações a seguir com precisão \epsilon=10^{-8}.
x^{5}-17 x^{3}+3 x+\frac{1}{4}=0

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da Secante a fim de encontrar uma raiz da equação
x^{5} - 17\,x^{3} + 3\,x + \tfrac14 = 0
com precisão \varepsilon = 10^{-8}.
O que precisamos:
– Definir f(x) = x^{5} - 17\,x^{3} + 3\,x + \tfrac14.
– Escolher duas aproximações iniciais x_{0} e x_{1}.
– Aplicar a iteração da Secante até \bigl|x_{n+1}-x_{n}\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Definimos
f(x) = x^{5} \;-\; 17\,x^{3} \;+\; 3\,x \;+\;\tfrac14.
Observando f(0)=0{,}25>0 e f(-0{,}1)\approx -0{,}033<0, sabemos que há uma raiz em [-0{,}1,0]. Tomamos, portanto,
x_{0} = -0,1, \quad x_{1} = 0.

Passo 3

O método da Secante usa a fórmula
x_{n+1} = x_{n} \;-\; f(x_{n}) \,\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n}) - f(x_{n-1})}\,.
Calculamos sucessivamente x_{2},x_{3},\dots até \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<10^{-8}.

Passo 4

A seguir, tabela com as primeiras iterações (valores arredondados a 9 casas decimais):
\begin{array}{c|c|c|c} n & x_{n} & f(x_{n}) & |x_{n}-x_{n-1}| \\\ \hline 0 & -0{,}100000000 & -0{,}033010000 & - \\[6pt] 1 & 0{,}000000000 & 0{,}250000000 & 0{,}100000000 \\[6pt] 2 & -0{,}088341115 & -0{,}003209445 & 0{,}088341115 \\[6pt] 3 & -0{,}087223527 & -0{,}000349288 & 0{,}001117588 \\[6pt] 4 & -0{,}087075041 & 0{,}000100073 & 0{,}000148486 \\[6pt] 5 & -0{,}087076727 & 0{,}000009528 & 0{,}000001686 \\[6pt] 6 & -0{,}087076828 & -0{,}000000341 & 0{,}000000101 \\[6pt] 7 & -0{,}087076828 & 0{,}000000000 & 0{,}000000000 \end{array}
Na iteração n=6 já temos
\lvert x_{7}-x_{6}\rvert<10^{-8}, ou seja, convergência ao nível exigido.]

Resposta

Uma aproximação da raiz é
x \approx -0,087076828.

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